Βασικά στοιχεία διανυσματικού λογισμού

Από Βικιεπιστήμιο

Σε αυτό το μάθημα θα γνωρίσουμε τι είναι τα βαθμωτά (μονόμετρα) και τι διανυσματικά μεγέθη στα μαθηματικά. Θα ασχοληθούμε κυρίως με τη δεύτερη κατηγορία όπου θα δούμε τις βασικές ιδιότητες των διανυσμάτων και των πράξεων τους.

[επεξεργασία] Βασικοί ορισμοί

Ας θυμηθούμε τις γνώσεις μας από την Ευκλείδια Γεωμετρία. Έχοντας δύο σημεία Α και Β τότε υπήρχε μία (μοναδική) ευθεία η οποία περνούσε από τα δύο αυτά σημεία και ονομάζαμε ευθύγραμμο τμήμα το σύνολο το σημείων αυτής ευθείας που περιέχονταν μεταξύ των Α και Β μαζί με αυτά. Με βάση αυτόν τον ορισμό δεν είχε σημασία αν αρχίζαμε να "μετράμε" τα άπειρα αυτά σημεία πρώτα απ' το σημείο Α προς το Β ή αντίστροφα, σε κάθε περίπτωση το ευθύγραμμο αυτό τμήμα θα περιείχε τα ίδια ακριβώς σημεία. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις όπου δεν μας ενδιαφέρει μόνο το σύνολο αυτών των σημείων, αλλά και ο προσανατολισμός τους.

Καλούμε διάνυσμα ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα. Αυτό σημαίνει ότι δεδομένων δύο σημείων Α και Β μας ενδιαφέρει αν διατρέχουμε την ευθεία από το Α προς το Β ή αντίστροφα. Ας πάρουμε για παράδειγμα το διπλανό σχήμα. Θεωρούμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα έχει προσανατολισμό και αυτός είναι από το Α στο Β. Αυτό το συμβολίζουμε με την αιχμή του βέλους να δείχνει προς το σημείο Β. Ονομάζουμε το Α αρχή και το Β πέρας του διανύσματος. Ένα διάνυσμα μπορούμε να το συμβολίσουμε με , AB (έντονη γραφή) ή με ένα μικρό γράμμα όπως εδώ, . Μέτρο του διανύσματος ονομάζουμε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Η ευθεία επί της οποίας κείται το διάνυσμα ονομάζεται φορέας του διανύσματος ,