ΜΑΘ101/Σύνολα και τα στοιχεία τους

Προηγούμενη Ενότητα	Περιεχόμενα	Επόμενη Ενότητα

Σύνολα

Ορισμός

Σύνολο ονομάζεται μια καλώς ορισμένη συλλογή από διακεκριμένα αντικείμενα, τα οποία καλούνται στοιχεία ή μέλη του συνόλου.

Όταν λέμε ότι είναι καλώς ορισμένη συλλογή, εννοούμε ότι θα πρέπει να γνωρίζουμε με ακρίβεια αν ένα αντικείμενο ανήκει στο σύνολο ή όχι. Επίσης, να σημειώσουμε ότι τα στοιχεία ενός συνόλου πρέπει να είναι διακεκριμένα αντικείμενα. Τα στοιχεία δεν μετρούν πολλαπλές φορές, για παράδειγμα το σύνολο των γραμμάτων της λέξης "Ελλάδα" δεν περιέχει 6 στοιχεία, περιέχει 4 διακεκριμένα γράμματα: α, λ, δ, ε.

Συμβολισμός


Georg Cantor (1845 - 1918)
Η δουλειά του γερμανού μαθηματικού Cantor ανάμεσα στα 1873 και 1884 σημαδεύει τη δημιουργία της θεωρίας συνόλων. Πριν από την έρευνα του Cantor η έννοιά τους γινόταν δεκτή σιωπηρά βασισμένη σε ιδέες από την εποχή του Αριστοτέλη. Κανείς δεν είχε συνειδητοποιήσει ότι το περιεχόμενο της συνολοθεωρίας δεν ήταν τετριμμένο: Πριν τον Cantor υπήρχαν μόνο πεπερασμένα σύνολα (τα οποία είναι ευκολονόητα) και "το άπειρο", το οποίο είχε περισσότερο φιλοσοφικό ενδιαφέρον. Αποδεικνύοντας την ύπαρξη ιεραρχίας σε απειροσύνολα, ο Cantor έδειξε την ανάγκη για μαθηματική έρευνα πάνω στη θεωρία συνόλων.

Για αφαιρετικά σύνολα χρησιμοποιούμε συνήθως κεφαλαία γράμματα Α, Β, Χ, Υ, κλπ., ενώ συγκεκριμένα σύνολα έχουν συγκεκριμένο συμβολισμό. Χρησιμοποιούμε μικρά γράμματα για να συμβολίσουμε τα μέλη ενός συνόλου, όπως x, y, z κλπ.

Αν Χ είναι ένα σύνολο και x είναι ένα στοιχείο του, τότε γράφουμε

x\in X

και διαβάζουμε:

το x ανήκει στο Χ ή
το x είναι στοιχείο του Χ

Αν το y είναι ένα αντικείμενο αλλά δεν είναι στοιχείο του συνόλου Χ, τότε γράφουμε

y\notin X

και διαβάζουμε:

το y δεν ανήκει στο Χ ή
το y δεν είναι στοιχείο του Χ

Παραδείγματα

Το σύνολο Χ όλων των μαθημάτων του Βικιεπιστημίου. Στοιχεία του συνόλου είναι μαθήματα του Βικιεπιστημίου.
- Αν x είναι ένα μάθημα τότε $x\in X$ .
- Αν y είναι ένα τμήμα τότε $y\notin X$ .
Το σύνολο των φυσικών αριθμών (θετικών ακεραίων) $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ .
- Επομένως, για $x=5,\ x\in \mathbb {N}$ , αλλά
- για $x=-12,\ x\notin \mathbb {N}$ .
Το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών, δηλαδή των αριθμών που οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες τους είναι ο εαυτός τους και η μονάδα {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 ...}
Το σύνολο από τις πρωτεύουσες των χωρών της Ευρωπαϊκής Ένωσης
{Βρυξέλλες, Παρίσι, Βερολίνο, Ρώμη, Λουξεμβούργο, Άμστερνταμ, Κοπεγχάγη, Δουβλίνο, Λονδίνο, Αθήνα, Λισαβώνα, Μαδρίτη, Βιέννη, Ελσίνκι, Στοκχόλμη, Λευκωσία, Πράγα, Μπρατισλάβα, Ταλίν, Ρίγα, Βίλνιους, Βαρσοβία, Βουδαπέστη, Βαλέτα, Λιουμπλιάνα, Σόφια, Βουκουρέστι}

Ισότητα Συνόλων

Δύο σύνολα είναι ίσα αν και μόνο αν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία:

x\in A\Leftrightarrow x\in B

Συμβολίζουμε δύο ίσα σύνολα με $A=B$

Υποσύνολα

Έστω σύνολα Α και Β.

Ονομάζουμε το Α υποσύνολο του Β αν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β, δηλαδή το Α είναι υποσύνολο του Β αν και μόνο αν

x\in A\Rightarrow x\in B

Συμβολίζουμε ότι το σύνολο Α είναι υποσύνολο του Β ως

A\subset B

ή

B\supset A

Αν για σύνολα Α και Β

A\subset B

και

A\neq B

τότε λέμε ότι το Α είναι γνήσιο υποσύνολο του Β.

Στη βιβλιογραφία αρκετές φορές για υποσύνολα χρησιμοποιείται το σύμβολο $\subseteq$ , ενώ το σύμβολο $\subset$ χρησιμοποιείται μόνο για γνήσια υποσύνολα. Σε αυτό το μάθημα θα χρησιμοποιούμε μόνο το σύμβολο $\subset$ για υποσύνολα, είτε γνήσια είτε όχι.

Ιδιότητες

Αυτοπαθής ή Ανακλαστική

Γίνεται εύκολα φανερό ότι εφόσον κάθε στοιχείο του συνόλου Α ανήκει στο Α ισχύει

A\subset A

Αντισυμμετρική

[(A\subset B)\land (B\subset A)]\Leftrightarrow (A=B)

Μεταβατική

[(A\subset B)\land (B\subset C)]\Rightarrow (A\subset C)

Άσκηση: αποδείξτε τη μεταβατική ιδιότητα
Απόδειξη	Εξήγηση
$(A\subset B)\Leftrightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B)\ \ \ (1)$	Αν $x\in A$ τότε $x\in B$ , επειδή $A\subset B$
$(B\subset C)\Leftrightarrow (x\in B\Rightarrow x\in C)\ \ \ (2)$	Το $x\in B$ τότε $x\in C$ , επειδή $B\subset C$
Από $(1)$ και $(2)$ $(x\in A\Rightarrow x\in C)\Leftrightarrow (A\subset C)$	Άρα το $x$ που είναι στοιχείο του $A$ είναι και στοιχείο του $C$ .

Το κενό σύνολο

Το σύνολο που δεν έχει κανένα στοιχείο ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται

\emptyset

,

\varnothing

ή

\{\}

.

Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε άλλου συνόλου.

Για να μην υπάρχουν παρανοήσεις, θα πρέπει ως τώρα να μπορείτε να ξεχωρίσετε με ακρίβεια τη διαφορά ανάμεσα σε σύνολα και τα στοιχεία τους:

Το σύνολο $\{\emptyset \}$ είναι διαφορετικό από το σύνολο $\emptyset$ .
Το πρώτο περιέχει ένα στοιχείο, το $\emptyset$ , ενώ το δεύτερο δεν περιέχει κανένα στοιχείο.
Το σύνολο $\{\alpha \}$ είναι διαφορετικό από το στοιχείο $\alpha$ .