Η έννοια του ολοκληρώματος[επεξεργασία]
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής σ' ένα διάστημα ![{\displaystyle \mathrm {[\alpha ,\;\beta ]\subset \mathbb {R} :\;f(x)\geq 0,\;\forall x\in [\alpha ,\;\beta ]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f486dbabe10b9a1b6ce7f892e188874d0801e933)
. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν (Ε) της επιφάνειας που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = α και x = β.
Επειδή η f είναι συνεχής στο [α,β] παρουσιάζει μια ελάχιστη (μ) και μια μέγιστη (Μ) τιμές, για τις οποίες ισχύουν:
![{\displaystyle \mathrm {\mu \leq f(x),\;\forall x\in [\alpha ,\beta ]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69410be1970e51010f00b6864e7ecf2614913fcc)
![{\displaystyle \mathrm {M\geq f(x),\;\forall x\in [\alpha ,\beta ]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abfe32db702dd3bdbeafe29db9bd5595860b716b)
Είναι φανερό ότι: 
, όπου 
και 
Έστω τώρα ένα σημείο ![{\displaystyle \mathrm {x_{1}\in [\alpha ,\;\beta ],\;x_{1}={\frac {\alpha +\beta }{2}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b066ba89830d5d84f1f98cbcbb9650f9285fcd67)
. Επειδή η f είναι συνεχής στο [α,β] είναι συνεχής και στα υποδιαστήματα [α,x1] και [x1,β]. ΄Αρα, όπως στο «βήμα 1ο», η f παρουσιάζει ελάχιστες (μ1 και μ2) και μέγιστες (Μ1 και Μ2) τιμές στα υποδιαστήματα [α,x1] και [x1,β], για τα οποία ισχύουν:
![{\displaystyle \mathrm {\mu _{1}\leq f(x),\;\forall x\in [\alpha ,x_{1}]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e9c48762ad20c9fb507b521ac04424bdd61242)
![{\displaystyle \mathrm {\mu _{2}\leq f(x),\;\forall x\in [x_{1},\beta ]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fec3c9e2718da9f3649d6035568ccd858bddd80)
![{\displaystyle \mathrm {M_{1}\geq f(x),\;\forall x\in [\alpha ,x_{1}]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a341c0aad96065dbf9d7e81a3236cdc6dabc295)
![{\displaystyle \mathrm {M_{2}\geq f(x),\;\forall x\in [x_{1},\beta ]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df5bb550d1c390d8aec1b1541fbc47ac80b33bc)
Είναι φανερό ότι: 
, όπου 
και 
Όμοια χωρίζουμε το διάστημα [α,β] σε ν ίσα κομμάτια:
[x0,x1], [x1,x2],... [xν-1,xν], όπου α = x0 < x1 <...< xν-1 < xν = β.
- Η διαδικασία αυτή ονομάζεται «διαμέριση διαστήματος».
