Πράξεις με μήτρες

Επιστροφή σε Γραμμική Άλγεβρα.

Πρόσθεση και κλιμάκωση

Έστω α,β μήτρες τύπου $A^{n}$. Το άθροισμα των α,β είναι μήτρα ίδιου τύπου c, όπου το i-στό στοιχείο της c είναι το άθροισμα των i-στων στοιχείων των α,β.

Για παράδειγμα: ${\begin{bmatrix}0&5&0\\8&-4&3\\6&7&-1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-4&3&2\\10&6&-7\\8&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-4&8&2\\18&2&-4\\14&8&-1\end{bmatrix}}$

Το άθροισμα οποιουδήποτε πίνακα με τον μηδενικό είναι ο ίδιος ο πίνακας. Για παράδειγμα: ${\begin{bmatrix}0&5&0\\8&-4&3\\6&7&-1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0\\8&-4&3\\6&7&-1\end{bmatrix}}$

Έστω α μήτρα τύπου $A^{n}$. Κλιμάκωση του α κατά λ είναι μήτρα ίδιου τύπου c, όπου το στοιχείο στη θέση i είναι το στοιχείο του α της ίδιας θέσης πολλαπλασιασμένη κατά λ.

Για παράδειγμα: $5{\begin{bmatrix}0&5&0\\8&-4&3\\6&7&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&25&0\\40&-20&15\\30&35&-5\end{bmatrix}}$

Γινόμενο πινάκων

Έστω a,b πίνακες $n\times m$ και $m\times l$ αντίστοιχα. Γινόμενο των a και b είναι μήτρα c $n\times l$, όπου το στοιχείο cij ισούται με $\sum _{k=1}^{m}a_{ik}\times b_{kj}$.

Πρακτικά για την εύρεση του γινομένου, για κάθε στοιχείο:

• Πολλαπλασιάζουμε την αντίστοιχη γραμμή του πρώτου με την αντίστοιχη στήλη του δεύτερου.
• Μετά αθροίζουμε όλα τα γινομενα.

Το άθροισμα είναι το στοιχείο που υπολογίζουμε.

Για παράδειγμα: ${\begin{bmatrix}0&5\\0&8\\-4&1\\7&-1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}-4&3&0\\0&2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&10&5\\0&16&8\\16&-10&1\\-28&19&-1\end{bmatrix}}$

Για τον υπολογισμό του στοιχείου -10 του αποτελέσματος τα βήματα είναι τα εξής.

• Το στοιχείο είναι στην 3η γραμμή, 2η στήλη.
• Πολλαπλασιάζουμε την 3η γραμμή του πρώτου πίνακα ${\begin{bmatrix}-4&1\end{bmatrix}}$ με τη 2η στήλη του δεύτερου πίνακα ${\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}}$ και είναι: $(-4\times 3,1\times 2)=(-12,2)$
• Προσθέτουμε τους όρους: -12+2=-10

Άρα το υπολογισταίο στοιχείο ισούται με -10.

Προσοχή! Ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός, συνήθως $A\times B\neq B\times A$.

Το γινόμενο οποιουδήποτε με τον μηδενικό πίνακα, είναι μηδενικός πίνακας.

Για παράδειγμα: ${\begin{bmatrix}0&5&0\\8&-4&3\\6&7&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

Μοναδιαίος πίνακας είναι διαγώνιος πίνακας όπου κάθε στοιχείο της διαγωνίου του είναι 1. Συμβολίζεται με I.

Παράδειγμα μοναδιαίου: ${\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

Το γινόμενο του μοναδιαίου πίνακα με οποιονδήποτε άλλο πίνακα είναι ο ίδιος ο πίνακας. Για παράδειγμα: ${\begin{bmatrix}0&5&0\\8&-4&3\\6&7&-1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0\\8&-4&3\\6&7&-1\end{bmatrix}}$

Ύψωση στον φυσικό n>1 ενός πίνακα Α είναι ο πίνακας $A^{(n-1)}\times A$. Επίσης, ορίζεται $A^{1}=A$.

Αντίστροφος πίνακας ενός πίνακα Α είναι ο πίνακας για τον οποίον το γινόμενό του με τον Α ισούται με τον μοναδιαίο. Συμβολίζεται με $A^{-1}$. Ύψωση στην -n, όπου n>1 φυσικός ενός πίνακα Α είναι ο $A^{-n}=(A^{-1})^{n}$. Ύψωση στο 0 ενός πίνακα Α είναι ο μοναδιαίος $A^{0}=I$

Ισχύει: $AA^{-1}=A^{-1}A=I$

Για παράδειγμα ο αντίστροφος του $A={\begin{bmatrix}0&1\\-3&2\end{bmatrix}}$ είναι ο $B={\begin{bmatrix}2/3&-1/3\\1&0\end{bmatrix}}$ γιατί:

$AB={\begin{bmatrix}0&1\\-3&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2/3&-1/3\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

Επειδή ο πολλαπλασιασμός δεν είναι αντιμεταθετικός δεν ορίζεται διαίρεση πινάκων.

Ερμιτιανός

Ανάστροφος πίνακας είναι ο πίνακας, όπου το στοιχείο της i-στης γραμμής και j-στης στήλης του αρχικού είναι στη j-στη γραμμή και i-στη στήλη. Συμβολίζεται με ύψωση στην Τ.

Πρακτικά ο ανάστροφος πίνακας είναι η περιστροφή του πίνακα κατά 180° γύρω από την κύρια διαγώνιό του. Για παράδειγμα $({\begin{bmatrix}0&5\\0&8\\-4&1\\7&-1\end{bmatrix}})^{T}={\begin{bmatrix}0&0&-4&7\\5&8&1&-1\end{bmatrix}}$

Συμμετρικός πίνακας είναι ο πίνακας που ισούται με τον ανάστροφό του. Αντισυμμετρικός πίνακας είναι ο πίνακας που ισούται με τον ανάστροφό του επί -1.

Ερμιτιανός συζυγής πίνακας είναι ο αναστροφοσυζυγής πίνακας.

Αν ο πίνακας έχει ως στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, τότε ο ερμιτιανός ταυτίζεται με τον ανάστροφο.

Αυτοπροσαρτημένος πίνακας είναι ο πίνακας που ισούται με τον ερμιτιανό του.

Ίχνος και ορίζουσα

Ίχνος πίνακας είναι πίνακας το άθροισμα των στοιχείων της διαγωνίου. Το ίχνος του Α συμβολίζεται με tr(A).

Για παράδειγμα: $tr({\begin{bmatrix}1&5\\-3&4\end{bmatrix}})=1+4=5$

Ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα ως προς γραμμή (ή στήλη) είναι το άθροισμα των γινομένων του κάθε στοιχείου της γραμμής (ή στήλης) επί την ορίζουσα του υποπίνακα που προκύπτει αν παραληφθεί η γραμμή (ή στήλη) και η στήλη (ή γραμμή) που αντιστοιχεί στο στοιχείο. πίνακας το άθροισμα των στοιχείων της διαγωνίου επί το -1 στο άθροισμα του δείκτη γραμμής και στήλης. Η ορίζουσα πίνακα ενός μόνο στοιχείου ισούται με το στοιχείο. Η ορίζουσα του α συμβολίζεται με

Ο υπολογισμός της ορίζουσας γίνεται πρακτικά ως εξής:

• Επιλέγεται μια πλευρά του πίνακα. Λέγεται ότι η ορίζουσα ανοίγεται ως προς την πλευρά.
• Σε κάθε στοιχείο αντιστοιχίζεται πρόσημα εναλλάξ. Το πρώτο στοιχείο λαμβάνει το πρόσημο +.
• Για κάθε στοιχείο της πλευράς:
  • Από τον αρχικό παραλείπεται η πλευρά. Επιπλέον, υπάρχει μια στήλη ή γραμμή, κάθετη στην πλευρά στην οποία βρίσκεται το στοιχείο. Παραλείπεται και αυτή.
  • Τα κομμάτια που παραμένουν σχηματίζουν έναν υποπίνακα. Υπολογίζεται η ορίζουσα του υποπίνακα.
  • Η ορίζουσα πολλαπλασιάζεται με το πρόσημο του στοιχείου.
• Αθροίζονται όλα τα γινόμενα.

Για παράδειγμα: ${\begin{vmatrix}1&5\\-3&4\end{vmatrix}}=1\times 4-5\times (-3)=4+15=19$