Πράξεις με μήτρες

Από Βικιεπιστήμιο
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Επιστροφή σε Γραμμική Άλγεβρα.

Πρόσθεση και κλιμάκωση[επεξεργασία]

Έστω α,β μήτρες τύπου . Το άθροισμα των α,β είναι μήτρα ίδιου τύπου c, όπου το i-στό στοιχείο της c είναι το άθροισμα των i-στων στοιχείων των α,β.


Για παράδειγμα:

Το άθροισμα οποιουδήποτε πίνακα με τον μηδενικό είναι ο ίδιος ο πίνακας. Για παράδειγμα:

Έστω α μήτρα τύπου . Κλιμάκωση του α κατά λ είναι μήτρα ίδιου τύπου c, όπου το στοιχείο στη θέση i είναι το στοιχείο του α της ίδιας θέσης πολλαπλασιασμένη κατά λ.


Για παράδειγμα:

Γινόμενο πινάκων[επεξεργασία]

Έστω a,b πίνακες και αντίστοιχα. Γινόμενο των a και b είναι μήτρα c , όπου το στοιχείο cij ισούται με .


Πρακτικά για την εύρεση του γινομένου, για κάθε στοιχείο:

  • Πολλαπλασιάζουμε την αντίστοιχη γραμμή του πρώτου με την αντίστοιχη στήλη του δεύτερου.
  • Μετά αθροίζουμε όλα τα γινομενα.

Το άθροισμα είναι το στοιχείο που υπολογίζουμε.

Για παράδειγμα:

Για τον υπολογισμό του στοιχείου -10 του αποτελέσματος τα βήματα είναι τα εξής.

  • Το στοιχείο είναι στην 3η γραμμή, 2η στήλη.
  • Πολλαπλασιάζουμε την 3η γραμμή του πρώτου πίνακα με τη 2η στήλη του δεύτερου πίνακα και είναι:
  • Προσθέτουμε τους όρους: -12+2=-10

Άρα το υπολογισταίο στοιχείο ισούται με -10.

Προσοχή! Ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός, συνήθως .

Το γινόμενο οποιουδήποτε με τον μηδενικό πίνακα, είναι μηδενικός πίνακας.

Για παράδειγμα:

Μοναδιαίος πίνακας είναι διαγώνιος πίνακας όπου κάθε στοιχείο της διαγωνίου του είναι 1. Συμβολίζεται με I.


Παράδειγμα μοναδιαίου:

Το γινόμενο του μοναδιαίου πίνακα με οποιονδήποτε άλλο πίνακα είναι ο ίδιος ο πίνακας. Για παράδειγμα:

Ύψωση στον φυσικό n>1 ενός πίνακα Α είναι ο πίνακας . Επίσης, ορίζεται .


Αντίστροφος πίνακας ενός πίνακα Α είναι ο πίνακας για τον οποίον το γινόμενό του με τον Α ισούται με τον μοναδιαίο. Συμβολίζεται με .

Ύψωση στην -n, όπου n>1 φυσικός ενός πίνακα Α είναι ο .

Ύψωση στο 0 ενός πίνακα Α είναι ο μοναδιαίος


Ισχύει:

Για παράδειγμα ο αντίστροφος του είναι ο γιατί:

Επειδή ο πολλαπλασιασμός δεν είναι αντιμεταθετικός δεν ορίζεται διαίρεση πινάκων.

Ερμιτιανός[επεξεργασία]

Ανάστροφος πίνακας είναι ο πίνακας, όπου το στοιχείο της i-στης γραμμής και j-στης στήλης του αρχικού είναι στη j-στη γραμμή και i-στη στήλη. Συμβολίζεται με ύψωση στην Τ.


Πρακτικά ο ανάστροφος πίνακας είναι η περιστροφή του πίνακα κατά 180° γύρω από την κύρια διαγώνιό του. Για παράδειγμα

Συμμετρικός πίνακας είναι ο πίνακας που ισούται με τον ανάστροφό του.

Αντισυμμετρικός πίνακας είναι ο πίνακας που ισούται με τον ανάστροφό του επί -1.


Ερμιτιανός συζυγής πίνακας είναι ο αναστροφοσυζυγής πίνακας.


Αν ο πίνακας έχει ως στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, τότε ο ερμιτιανός ταυτίζεται με τον ανάστροφο.

Αυτοπροσαρτημένος πίνακας είναι ο πίνακας που ισούται με τον ερμιτιανό του.


Ίχνος και ορίζουσα[επεξεργασία]

Ίχνος πίνακας είναι πίνακας το άθροισμα των στοιχείων της διαγωνίου. Το ίχνος του Α συμβολίζεται με tr(A).


Για παράδειγμα:

Ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα ως προς γραμμή (ή στήλη) είναι το άθροισμα των γινομένων του κάθε στοιχείου της γραμμής (ή στήλης) επί την ορίζουσα του υποπίνακα που προκύπτει αν παραληφθεί η γραμμή (ή στήλη) και η στήλη (ή γραμμή) που αντιστοιχεί στο στοιχείο. πίνακας το άθροισμα των στοιχείων της διαγωνίου επί το -1 στο άθροισμα του δείκτη γραμμής και στήλης. Η ορίζουσα πίνακα ενός μόνο στοιχείου ισούται με το στοιχείο. Η ορίζουσα του α συμβολίζεται με


Ο υπολογισμός της ορίζουσας γίνεται πρακτικά ως εξής:

  • Επιλέγεται μια πλευρά του πίνακα. Λέγεται ότι η ορίζουσα ανοίγεται ως προς την πλευρά.
  • Σε κάθε στοιχείο αντιστοιχίζεται πρόσημα εναλλάξ. Το πρώτο στοιχείο λαμβάνει το πρόσημο +.
  • Για κάθε στοιχείο της πλευράς:
    • Από τον αρχικό παραλείπεται η πλευρά. Επιπλέον, υπάρχει μια στήλη ή γραμμή, κάθετη στην πλευρά στην οποία βρίσκεται το στοιχείο. Παραλείπεται και αυτή.
    • Τα κομμάτια που παραμένουν σχηματίζουν έναν υποπίνακα. Υπολογίζεται η ορίζουσα του υποπίνακα.
    • Η ορίζουσα πολλαπλασιάζεται με το πρόσημο του στοιχείου.
  • Αθροίζονται όλα τα γινόμενα.

Για παράδειγμα: