Ο τύπος του Διωνύμου και οι Διωνυμικοί Συντελεστές

Από Βικιεπιστήμιο

Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Πίνακας περιεχομένων

1 Το παραγοντικό
2 Ο τύπος του διωνύμου
3 Διωνυμικοί συντελεστές
- 3.1 Ιδιότητες των διωνυμικών συντελεστών
4 Επέκταση για δυνάμεις πολυωνύμων

[επεξεργασία] Το παραγοντικό

Για $n \in \mathbb{N}^* = \mathbb{N} - \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}$ ορίζεται:

$n! = \prod_{i=1}^n i$ .

Για n = 0 ορίζεται:

$0! = 1$ .

[επεξεργασία] Ο τύπος του διωνύμου

Για $n \in \mathbb{N}^* = \mathbb{N} - \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}$ είναι:

$\begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix}^n = \alpha^n + \sum_{i=1}^n \frac{n!}{i! \begin{pmatrix} n-i \end{pmatrix} !} \alpha^{n-i} \beta^i$

[επεξεργασία] Διωνυμικοί συντελεστές

Για $n \in \mathbb{N}^* = \mathbb{N} - \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}$ και $\forall i \in \begin{Bmatrix} 1,2,3... n \end{Bmatrix} \subset \mathbb{N}^*$ ορίζονται οι διωνυμικοί συντελεστές ως εξής:

${n \choose i} =\frac{n!}{i! \begin{pmatrix} n-i \end{pmatrix} !} = {n \choose n-i}$

Ακόμη ορίζεται:

${n \choose 0} = 1$

[επεξεργασία] Ιδιότητες των διωνυμικών συντελεστών

${n \choose i} + {n \choose i+1} = {n+1 \choose i+1}$

Η σχέση δίνει το τρίγωνο του Pascal.

$\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n$

$\sum_{i=0}^n \begin{pmatrix} -1 \end{pmatrix}^i {n \choose i} = 0$

$\sum_{i=0}^m {n+i \choose n} = {n+m+1 \choose n+1} ,\; m \in \mathbb{N}$

$\sum_{i=0}^k {n \choose 2i} = 2^{n-1},\; k = \begin{bmatrix} \frac{n}{2} \end{bmatrix}$

$\sum_{i=0}^k {n \choose 2i+1} = 2^{n-1},\; k = \begin{bmatrix} \frac{n-1}{2} \end{bmatrix}$

$\sum_{i=0}^n {n \choose i}^2 = {2n \choose n}$

$\sum_{i=0}^p {m \choose i}{n \choose p-i} = {m+n \choose p},\; m \in \mathbb{N},\; p \le min \begin{Bmatrix} m,n \end{Bmatrix} \wedge p \in \mathbb{N}$

$\sum_{i=1}^n i {n \choose i} = n2^{n-1}$

$\sum_{i=1}^n \begin{pmatrix} -1 \end{pmatrix}^{i+1} i {n \choose i} = 0$

[επεξεργασία] Επέκταση για δυνάμεις πολυωνύμων

$\begin{pmatrix} \begin{matrix} p \\ \sum \\ i=1 \end{matrix} \alpha_i \end{pmatrix}^n = \sum_{i=1}^p \frac{n!}{\begin{matrix} p \\ \prod \\ i=1 \end{matrix} n_i!} \prod_{i=1}^p \alpha_i^{n_i}, \; p \in \mathbb{N}^*, \; n_i \in \mathbb{N}^* \wedge \sum_{i=1}^p n_i = n$

(Συνεχίζεται...)
Επιστροφή στο Τμήμα Μαθηματικών

Ο τύπος του Διωνύμου και οι Διωνυμικοί Συντελεστές

Από Βικιεπιστήμιο

Πίνακας περιεχομένων

[επεξεργασία] Το παραγοντικό

[επεξεργασία] Ο τύπος του διωνύμου

[επεξεργασία] Διωνυμικοί συντελεστές

[επεξεργασία] Ιδιότητες των διωνυμικών συντελεστών

[επεξεργασία] Επέκταση για δυνάμεις πολυωνύμων

Εμφανίσεις

Προσωπικά εργαλεία

Περιήγηση

Βοήθεια

Συμμετοχή

Αναζήτηση

Εργαλεία