Ταυτότητες

Από Βικιεπιστήμιο

Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Πίνακας περιεχομένων

1 Αναπτύγματα δυνάμεων διωνύμων
2 Παραγοντοποιήσεις

[επεξεργασία] Αναπτύγματα δυνάμεων διωνύμων

Οι επόμενοι τύποι αποτελούν μερική εφαρμογή του τύπου διωνύμου για $2 \le n \le 6$ .

$\begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix}^2 = \alpha^2 + 2 \alpha \beta + \beta^2$

Ανάπτυγμα τετραγώνου αθροίσματος δύο όρων.

$\begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix}^2 = \alpha^2 - 2 \alpha \beta + \beta^2$

Ανάπτυγμα τετραγώνου διαφοράς δύο όρων.

$\begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix}^3 = \alpha^3 + 3 \alpha^2 \beta + 3 \alpha \beta^2 + \beta^3$

Ανάπτυγμα κύβου αθροίσματος δύο όρων.

$\begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix}^3 = \alpha^3 - 3 \alpha^2 \beta + 3 \alpha \beta^2 - \beta^3$

Ανάπτυγμα κύβου διαφοράς δύο όρων.

$\begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix}^4 = \alpha^4 + 4 \alpha^3 \beta + 6 \alpha^2 \beta^2 + 4 \alpha \beta^3 + \beta^4$

Ανάπτυγμα τέταρτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.

$\begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix}^4 = \alpha^4 - 4 \alpha^3 \beta + 6 \alpha^2 \beta^2 - 4 \alpha \beta^3 + \beta^4$

Ανάπτυγμα τέταρτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.

$\begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix}^5 = \alpha^5 + 5 \alpha^4 \beta + 10 \alpha^3 \beta^2 + 10 \alpha^2 \beta^3 + 5 \alpha \beta^4 + \beta^5$

Ανάπτυγμα πέμπτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.

$\begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix}^5 = \alpha^5 - 5 \alpha^4 \beta + 10 \alpha^3 \beta^2 - 10 \alpha^2 \beta^3 + 5 \alpha \beta^4 - \beta^5$

Ανάπτυγμα πέμπτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.

$\begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix}^6 = \alpha^6 + 6 \alpha^5 \beta + 15 \alpha^4 \beta^2 + 20 \alpha^3 \beta^3 + 15 \alpha^2 \beta^4 + 6 \alpha \beta^5 + \beta^6$

Ανάπτυγμα έκτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.

$\begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix}^6 = \alpha^6 - 6 \alpha^5 \beta + 15 \alpha^4 \beta^2 - 20 \alpha^3 \beta^3 + 15 \alpha^2 \beta^4 - 6 \alpha \beta^5 + \beta^6$

Ανάπτυγμα έκτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.

[επεξεργασία] Παραγοντοποιήσεις

[επεξεργασία] Παραγοντοποιήσεις αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεων

$\alpha^2 - \beta^2 = \begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix}$

Παραγοντοποίηση διαφοράς τετραγώνων.

$\alpha^3 - \beta^3 = \begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2 \end{pmatrix}$

Παραγοντοποίηση διαφοράς κύβων.

$\alpha^3 + \beta^3 = \begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2 \end{pmatrix}$

Παραγοντοποίηση αθροίσματος κύβων.

$\alpha^4 - \beta^4 = \begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^2 + \beta^2 \end{pmatrix}$

Παραγοντοποίηση διαφοράς τέταρτης δύναμης.

$\alpha^5 - \beta^5 = \begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^4 + \alpha^3 \beta + \alpha^2 \beta^2 + \alpha \beta^3 + \beta^4 \end{pmatrix}$

Παραγοντοποίηση διαφοράς πέμπτης δύναμης.

$\alpha^5 + \beta^5 = \begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^4 - \alpha^3 \beta + \alpha^2 \beta^2 - \alpha \beta^3 + \beta^4 \end{pmatrix}$

Παραγοντοποίηση αθροίσματος πέμπτης δύναμης.

$\alpha^6 - \beta^6 = \begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2 \end{pmatrix}$

Παραγοντοποίηση διαφοράς έκτης δύναμης.

[επεξεργασία] Γενίκευση παραγοντοποιήσεων αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεων

Οι παρακάτω τύποι ισχύουν για $n \in \mathbb{N}^* = \mathbb{N} - \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}$

$\alpha^{2n+1} - \beta^{2n+1} = \begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix} \sum_{i=0}^{2n} \alpha^{2n-i} \beta^i = \begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix} \prod_{i=1}^n \begin{pmatrix} \alpha^2 - 2 \alpha \beta \sigma \upsilon \nu \frac{2i \pi}{2n+1} + \beta^2 \end{pmatrix}$

$\alpha^{2n+1} + \beta^{2n+1} = \begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix} \sum_{i=0}^{2n} (-1)^i \alpha^{2n-i} \beta^i = \begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix} \prod_{i=1}^n \begin{pmatrix} \alpha^2 + 2 \alpha \beta \sigma \upsilon \nu \frac{2i \pi}{2n+1} + \beta^2 \end{pmatrix}$

$\alpha^{2n} - \beta^{2n} = \begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix} \sum_{i=0}^n \alpha^{n-1-i} \beta^i \sum_{i=0}^n (-1)^i \alpha^{n-1-i} \beta^i = \begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix} \prod_{i=1}^{n-1} \begin{pmatrix} \alpha^2 - 2 \alpha \beta \sigma \upsilon \nu \frac{i \pi}{n} + \beta^2 \end{pmatrix}$

$\alpha^{2n} + \beta^{2n} = \prod_{i=1}^n \begin{pmatrix} \alpha^2 + 2 \alpha \beta \sigma \upsilon \nu \frac{\begin{pmatrix} 2i-1 \end{pmatrix} \pi}{2n} + \beta^2 \end{pmatrix}$

[επεξεργασία] Άλλες παραγοντοποιήσεις

$\alpha^4 + \alpha^2 \beta^2 + \beta^4 = \begin{pmatrix} \alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2 \end{pmatrix}$

$\alpha^4 + 4 \beta^4 = \begin{pmatrix} \alpha^2 + 2 \alpha \beta + 2 \beta^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha^2 - 2 \alpha \beta + 2 \beta^2 \end{pmatrix}$

(Συνεχίζεται...)
Επιστροφή στο Τμήμα Μαθηματικών

Ταυτότητες

Από Βικιεπιστήμιο

Πίνακας περιεχομένων

[επεξεργασία] Αναπτύγματα δυνάμεων διωνύμων

[επεξεργασία] Παραγοντοποιήσεις

[επεξεργασία] Παραγοντοποιήσεις αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεων

[επεξεργασία] Γενίκευση παραγοντοποιήσεων αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεων

[επεξεργασία] Άλλες παραγοντοποιήσεις

Εμφανίσεις

Προσωπικά εργαλεία

Περιήγηση

Βοήθεια

Συμμετοχή

Αναζήτηση

Εργαλεία