Ευκλείδειο διάνυσμα

Το μάθημα αυτό έχει σκοπό να αποτελέσει μια στοιχειώδη παρουσίαση των πιο σημαντικών στοιχείων της αναλυτικής γεωμετρίας. Εδώ παρουσιάζονται τα κύρια στοιχεία ενός ευκλείδειου διανύσματος, δηλαδή μιας προσανατολισμένης ποσότητας, καθώς αποτελεί μια απ' τις σημαντικότερες έννοιες στη Φυσική και στην Εφαρμοσμένη Μηχανική. Για μια πιο γενική μαθηματική έννοια, δείτε τη σελίδα διανυσματικός χώρος.

Κατεύθυνση

Η κατεύθυνση είναι το μέγεθος που προσδιορίζει τον προσανατολισμό. Η έννοια είναι σύνθετη και εμπεριέχει τις έννοιες της διεύθυνσης και της φοράς.

Διεύθυνση

Αυτός ο αυτοκινητόδρομος έχει δύο αντίθετες κατευθύνσεις. Όλες οι λωρίδες έχουν την ίδια διεύθυνση.

Είναι το σύνολο των παράλληλων ευθειών ως προς μια συγκεκριμένη ευθεία, συμπεριλαμβανομένου και αυτής της ευθείας.

Γεωμετρικά αποδεικνύεται ότι όλες αυτές οι ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους, ενώ κάθε ευθεία παράλληλη σε οποιαδήποτε ευθεία της διεύθυνσης ανήκει και αυτή στη διεύθυνση. Έτσι, σε κάθε σημείο του χώρου διέρχεται ακριβώς μία ευθεία αυτής της διεύθυνσης. Αν και τα δύο άκρα ενός διανύσματος ανήκουν στην ίδια ευθεία μιας διεύθυνσης, τότε το διάνυσμα έχει αυτήν τη διεύθυνση. Επομένως, δύο διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση αν είναι παράλληλα ή ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Καταχρηστικά όλα τα διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση θεωρούνται παράλληλα.

Δύο ημιευθείες ίδιας φοράς.

Φορά

Είναι το σύνολο των ημιευθειών των οποίων οι αντίστοιχες ευθείες ανήκουν όλες στην ίδια διεύθυνση, ενώ ανά δύο ανήκουν προς το ίδιο μέρος του ημιεπιπέδου που ορίζουν. Αν οι ημιευθείες είναι συνευθειακές, τότε έχουν την ίδια φορά αν η μία περιέχεται μέσα στην άλλη.

Κάθε διεύθυνση έχει δύο φορές, γιατί σε μια ευθεία υπάρχουν ακριβώς δύο ημιευθείες που ανήκουν σε διαφορετικές φορές. Οι δύο φορές μιας διεύθυνσεις μεταξύ τους λέγονται αντίθετες.

Έτσι δύο κατευθύνσεις είναι ίδιες αν έχουν την ίδια διεύθυνση και φορά και αντίθετες αν έχουν ίδια διεύθυνση και διαφορετική φορά.

Διάνυσμα

Ας θυμηθούμε τις γνώσεις μας από την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Έχοντας δύο σημεία Α και Β τότε υπήρχε μία (μοναδική) ευθεία η οποία περνούσε από τα δύο αυτά σημεία και ονομάζαμε ευθύγραμμο τμήμα το σύνολο το σημείων αυτής ευθείας που περιέχονταν μεταξύ των Α και Β μαζί με αυτά. Χαρακτηριστικό μέγεθος του ευθύγραμμου τμήματος είναι το μήκος του. Με βάση αυτόν τον ορισμό θα άλλαζε είχε σημασία στο μήκος αν αλλάζαμε τα σημεία Α και Β μεταξύ τους. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις όπου δεν μας ενδιαφέρει μόνο το σύνολο αυτών των σημείων, αλλά και ο προσανατολισμός τους.

Το διάνυσμα εξαρτάται μόνο από τα άκρα του.

Διάνυσμα με αρχή το σημείο Α και πέρας το σημείο Β είναι το προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με κατεύθυνση από το Α στο Β και συμβολίζεται με ${\vec {AB}}$

Αυτό σημαίνει ότι δεδομένων δύο σημείων Α και Β μας ενδιαφέρει αν διατρέχουμε την ευθεία από το Α προς το Β ή αντίστροφα. Ας πάρουμε για παράδειγμα το διπλανό σχήμα. Θεωρούμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα έχει προσανατολισμό και αυτός είναι από το Α στο Β. Το σημείο Α ονομάζεται αρχή ή σημείο εφαρμογής και το σημείο Β πέρας του διανύσματος ${\vec {AB}}$. Αυτό το συμβολίζουμε με την αιχμή του βέλους να δείχνει προς το σημείο Β. Ένα διάνυσμα μπορούμε να το συμβολίσουμε με ${\vec {AB}}$, AB (έντονη γραφή) ή με ένα μικρό γράμμα όπως εδώ, ${\vec {\alpha }}$.

Μέτρο του διανύσματος ${\vec {\alpha }}$ είναι το μήκος του αντίστοιχου ευθύγραμμου τμήματος και συμβολίζεται με $|{\vec {\alpha }}|$ ή $||{\vec {\alpha }}||$

Η ευθεία επί της οποίας κείται το διάνυσμα ${\vec {A}}B$ ονομάζεται φορέας του διανύσματος ${\vec {A}}B$.

Μηδενικό διάνυσμα είναι το διάνυσμα του οποίου το μέτρο ισούται με μηδέν.

δηλαδή η αρχή του είναι ίδια με το πέρας του. Για το μηδενικό διάνυσμα δεν ορίζεται προσανατολισμός. Το συμβολίζουμε συνήθως ως ${\overrightarrow {0}}$ ή $\mathbf {0}$.

Με βάση το σημείο εφαρμογής τους υπάρχουν δύο ειδών διανύσματα:

• Ελεύθερο διάνυσμα ονομάζουμε το σύνολο των διανυσμάτων που έχουν τον ίδιο προσανατολισμό και το ίδιο μέτρο.
• Εφαρμοστό διάνυσμα ονομάζουμε το διάνυσμα το οποίο μας ενδιαφέρει και ως προς τα τρία χαρακτηριστικά του.

Το ελεύθερο διάνυσμα μπορεί να αντιπροσωπευθεί από ένα οποιοδήποτε στοιχείο του. Κατά προτίμηση τα ελεύθερα διανύσματα συμβολίζονται με μικρά γράμματα, ενώ το ζεύγος σημείων παραπέμπει σε εφαρμοστό διάνυσμα.

Χώρος ελεύθερων διανυσμάτων.

Η πρώτη περιγραφή του διανύσματος είναι εφαρμογή ενός ελεύθερου διανύσματος.

Άσκηση: Αποδείξτε ότι ένα ελεύθερο διάνυσμα προσδιορίζεται πλήρως από μια φορά μιας διεύθυνσης και ένα μέτρο.
λύση
Επιλέγουμε τυχαία μια ευθεία αυτής της διεύθυνσης ως φορέα του διανύσματος. Επιλέγουμε ένα σημείο στο φορέα ως αρχή του διανύσματος, ενώ θεωρούμε την ημιευθεία που υποδηλώνει η φορά με αρχή την αρχή του διανύσματος. Πάνω στην ημιευθεία επιλέγουμε το σημείο που απέχει από την αρχή απόσταση ίση με το μέτρο του διανύσματος (το σημείο αυτό είναι μοναδικό). Η επιλογή της αρχής μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο του χώρου (αν επιλεγεί κατάλληλος φορέας), άρα το διάνυσμα είναι ελεύθερο.

Άσκηση: Αποδείξτε ότι ένα εφαρμοστό διάνυσμα προσδιορίζεται πλήρως από μια φορά μιας διεύθυνσης, ένα μέτρο και ένα σημείο.
λύση
Η φορά της διεύθυνσης και το μέτρο προσδιορίζουν ένα ελεύθερο διάνυσμα. Επιλέγουμε το φορέα και την αρχή έτσι, ώστε να ταυτίζεται με την επιθυμητή θέση.

Στοιχεία ενός διανύσματος.

Το σημείο που αναφέρεται παραπάνω ονομάζεται σημείο εφαρμογής και ταυτίζεται με την αρχή του διανύσματος.

Το διάνυσμα χαρακτηρίζεται από τρία στοιχεία:

• Το μήκος τους
• Το προσανατολισμό του.
• Το σημείο εφαρμογής του.

Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη!!!

Μερικά μεγέθη περιγράφονται πλήρως μόνο από το μέτρο τους και άλλα χρειάζονται και προσανατολισμό!!!

Βαθμωτά και διανύσματα

Βαθμωτό ονομάζουμε μια ποσότητα που έχει μόνο μέτρο.

Διάνυσμα ονομάζουμε μια ποσότητα που έχει μέτρο και κατεύθυνση.

Για παράδειγμα, η θερμοκρασία είναι βαθμωτό μέγεθος, γιατί μπορούμε να τη χαρακτηρίσουμε μόνο με έναν αριθμό, όπως 28 °C. Σημειώνεται ότι δεν πρέπει να είναι αναγκαστικά θετικός ή ακέραιος, για παράδειγμα μπορούμε να έχουμε θερμοκρασία -4,8 °C. Η ταχύτητα όμως δεν μπορεί να χαρακτηριστεί στη γενική περίπτωση μόνο από το μέτρο της, γιατί δε μας ενδιαφέρει μόνο πόσο γρήγορα κινείται ένα σώμα, αλλά και προς τα πού πηγαίνει.

Τα βαθμωτά σημειώνονται με κανονική γραφή ή πιο συνηθισμένα με πλάγια, για παράδειγμα ${\mathit {A}}$.

Συνευθειακά διανύσματα

Συνευθειακά ονομάζονται καταχρηστικά τα διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση. Έτσι, τα "παράλληλα" διανύσματα θεωρούνται "συνευθειακά"!

Συνευθειακά διανύσματα

Ομόρροπα ονομάζουμε τα διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση και την ίδια φορά, δηλαδή ίδια κατεύθυνση.

Αντίρροπα ονομάζουμε τα διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση και διαφορετική φορά, δηλαδή αντίθετη κατεύθυνση.

Ίσα ονομάζουμε τα διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση και το ίδιο μέτρο.

Αντίθετα ονομάζουμε τα διανύσματα που είναι αντίρροπα και έχουν το ίδιο μέτρο.

ομόρροπα και αντίρροπα διανύσματα

Τα εφαρμοστά διανύσματα που ταυτίζονται εκτός από ίσα έχουν και το ίδιο σημείο εφαρμογής. Τα ελεύθερα διανύσματα που είναι ίσα ταυτίζονται, αφού προσδιορίζουν το ίδιο σύνολο. Ένα ελεύθερο διάνυσμα που ταυτίζεται με ένα εφαρμοστό είναι το ελεύθερο, ίσο διάνυσμα που εφαρμόζεται στο σημείο εφαρμογής.

Ίσα και ταυτιζόμενα διανύσματα

Ίσα ονομάζουμε τα διανύσματα που έχουν την ίδια κατεύθυνση και το ίδιο μέτρο.

'Ταυτιζόμενα ονομάζουμε τα ίσα διανύσματα που εφαρμόζονται στο ίδιο σημείο, δηλαδή όλα τα στοιχεία τους είναι ίσα, το οποίο σημαίνει ότι τα δύο διανύσματα περιγράφουν ακριβώς το ίδιο πράγμα.

Για παράδειγμα αν δύο χάρτες είναι ίδιοι αλλά χαρτογραφούν διαφορετικές πόλεις που τυχαίνει να έχουν την ίδια ρυμοτομία είναι ίσοι μεν αλλά δεν είναι ταυτιζόμενοι.

Γωνία διανυσμάτων

Γωνία δύο διανυσμάτων.

Η γωνία $({\hat {{\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}}})$ είναι η επίπεδη κυρτή γωνία μεταξύ των διανυσμάτων ${\vec {\alpha }}$, ${\vec {\beta }}$ αν εφαρμοστούν με κοινή αρχή. Αν τα διανύσματα είναι αντίρροπα ορίζουμε ως μεταξύ τους γωνία τη γωνία π ακτίνια.

Αν τα διανύσματα είναι ομόρροπα, τότε η μεταξύ τους γωνία ορίζεται ως 0.

Αν ένα από τα δύο διανύσματα είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε δεν ορίζεται μεταξύ τους γωνία, αν και υπάρχει και η άποψη ότι ορίζεται η οποιαδήποτε γωνία μεταξύ 0 και π ακτίνια. Γενικά, οι τύποι και τα αποτελέσματα της αναλυτικής γεωμετρίας δεν αλλοιώνονται από τη γωνία με μηδενικό διάνυσμα, γιατί συνήθως λαμβάνουν υπόψιν και το μέτρο των διανυσμάτων.

Η γωνία δύο διανυσμάτων δείχνει την απόκλιση ή εκτροπή των κατευθύνσεων των δύο διανυσμάτων. Για παράδειγμα στο ποδόσφαιρο, αν το ένα διάνυσμα δείχνει τον επιθυμητό στόχο με αρχή τον παίκτη και το άλλο το σημείο που πήγε τελικά η μπάλα, η γωνία των δύο διανυσμάτων δείχνει το λάθος του παίκτη όσον αφορά την κατεύθυνση της μπαλιάς.

Ασκήσεις

Ερωτήσεις κατανόησης

• Τί είναι διάνυσμα;
• Ποιά μεγέθη περιγράφονται αναμένεται να περιγράφονται από διάνυσμα (εκτός της ταχύτητας);
  • Αναφέρετε ένα παράδειγμα βαθμωτού θετικού μεγέθους.
  • Αναφέρετε ένα παράδειγμα βαθμωτού μεγέθους που μπορεί να πάρει θετικές και αρνητικές τιμές.
  • Αναφέρετε ένα παράδειγμα μεγέθους που περιγράφεται από εφαρμοστό διάνυσμα.
  • Αναφέρετε ένα παράδειγμα μεγέθους που περιγράφεται από ελεύθερο διάνυσμα.
• Ποιά η διεύθυνση και ποιά η αντίθετη κατεύθυνση στις παρακάτω περιπτώσεις:
  • Πάνω
  • Αριστερά
  • Νότια
  • Μπροστά
• Δύο αυτοκίνητα κινούνται νόμιμα σε έναν ίσιο αυτοκινητόδρομο. Τί σημαίνει ότι κινούνται με:
  • Ομόρροπες ταχύτητες;
  • Αντίρροπες ταχύτητες;
  • Αντίθετες ταχύτητες;
  • Ίσες ταχύτητες;
  • Το αυτοκίνητο με ταχύτητα 50 χιλιόμετρα την ώρα προπορεύεται του αυτοκινήτου με ταχύτητα 90 χιλιόμετρα την ώρα ομόρροπη της προηγούμενης. Τί προβλέπετε ότι θα συμβεί σχετικά με τις θέσεις τους;
• Ποιά είναι τα άκρα ενός ελεύθερου διανύσματος; Γνωρίζουμε κάτι για αυτά;

Σουλουδάκια

1  

Το ${\vec {AB}}$ είναι...

2  

Η αρχή του ${\vec {AB}}$ είναι το...

3  

Η θερμοκρασία είναι διανυσματικό μέγεθος; Σωστό ή Λάθος;

4  

Ποιό μέγεθος είναι το μέτρο ενός διανύσματος; Το...

5  

Η διεύθυνση είναι ευθεία ή σύνολο;

6  

Το διάνυσμα έχει την έννοια της καμπυλότητας.

7  

Δύο διανύσματα είναι ίσα και ομόρροπα. Ένα από τα δύο είναι το ${\vec {\alpha }}$. ${\vec {\alpha }}$=

(Βαθμοί 7)

Έρευνα

• Τί μέγεθος είναι η πίεση;