Μετασχηματισμός Z

Από Βικιεπιστήμιο
(Ανακατεύθυνση από Μετασχηματισμός Ζ)
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Ένα απ' τα σημαντικότερα εργαλεία που έχουμε για την ανάλυση και τον σχεδιασμό συστημάτων διακριτού χρόνου είναι ο μετασχηματισμός Z. Ο μετασχηματισμός Z είναι αντίστοιχος του μετασχηματισμού Laplace για τα διακριτά συστήματα και, όπως θα δούμε, μας επιτρέπει να βρίσκουμε εύκολα την απόκριση ΓΧΑ συστημάτων ή τη λύση εξισώσεων διαφορών.

Ορισμός[επεξεργασία]

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ΓΧΑ σύστημα διακριτού χρόνου με κρουστική απόκριση . Όπως είναι γνωστό, αν εφαρμόσουμε σαν είσοδο του ένα σήμα , τότε, αφού το σύστημά μας είναι ΓΧΑ, η έξοδός του θα δίνεται από το άθροισμα συνέλιξης

Ας εφαρμόσουμε ένα συγκεκριμένο σήμα ως είσοδο, το σήμα . Δεν μας νοιάζει ποιος αριθμός είναι ο , μπορεί να είναι ένας οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός. Όταν εφαρμοστεί σαν είσοδος στο παραπάνω σύστημα μπορούμε να υπολογίσουμε την έξοδο γι' αυτό το συγκεκριμένο σήμα όπως παραπάνω:

Βγάλαμε το έξω απ' το άθροισμα, μπορούμε να το κάνουμε αυτό γιατί δεν εξαρτάται απ' το δείκτη του αθροίσματος. Παρατηρούμε λοιπόν ότι αυτό που λαμβάνουμε σαν έξοδο είναι το αρχικό μας σήμα πολλαπλασιασμένο με κάτι. Αυτό το κάτι εξαρτάται μόνο απ' το και θα το συμβολίσουμε ως , οπότε αν γνωρίζουμε το , απλώς το πολλαπλασιάζουμε με το αρχικό μας σήμα και έτσι εύκολα παίρνουμε την έξοδο. Η παραπάνω σειρά είναι μια σειρά Laurent. Γενικεύουμε τον παραπάνω συμβολισμό για κάθε σήμα και έτσι ορίζουμε τον μετασχηματισμό Z.

Ορισμός
Για ένα διακριτό σήμα ο μετασχηματισμός Z του ορίζεται ως

και συμβολίζεται επίσης ως και

Περιοχή σύγκλισης[επεξεργασία]

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Z[επεξεργασία]

Ιδιότητες του μετασχηματισμού Z[επεξεργασία]