Μετασχηματισμός Z

Ένα απ' τα σημαντικότερα εργαλεία που έχουμε για την ανάλυση και τον σχεδιασμό συστημάτων διακριτού χρόνου είναι ο μετασχηματισμός Z. Ο μετασχηματισμός Z είναι αντίστοιχος του μετασχηματισμού Laplace για τα διακριτά συστήματα και, όπως θα δούμε, μας επιτρέπει να βρίσκουμε εύκολα την απόκριση ΓΧΑ συστημάτων ή τη λύση εξισώσεων διαφορών.

Ορισμός

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ΓΧΑ σύστημα διακριτού χρόνου με κρουστική απόκριση $h[n]$. Όπως είναι γνωστό, αν εφαρμόσουμε σαν είσοδο του ένα σήμα $x[n]$, τότε, αφού το σύστημά μας είναι ΓΧΑ, η έξοδός του θα δίνεται από το άθροισμα συνέλιξης

$y[n]=h[n]\ast x[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]x[n-k]$

Ας εφαρμόσουμε ένα συγκεκριμένο σήμα ως είσοδο, το σήμα $x[n]=z^{n}$. Δεν μας νοιάζει ποιος αριθμός είναι ο $z$, μπορεί να είναι ένας οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός. Όταν εφαρμοστεί σαν είσοδος στο παραπάνω σύστημα μπορούμε να υπολογίσουμε την έξοδο γι' αυτό το συγκεκριμένο σήμα όπως παραπάνω:

$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]z^{n-k}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]z^{-k}z^{n}=z^{n}\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]z^{-k}$

Βγάλαμε το $z^{n}$ έξω απ' το άθροισμα, μπορούμε να το κάνουμε αυτό γιατί δεν εξαρτάται απ' το δείκτη του αθροίσματος. Παρατηρούμε λοιπόν ότι αυτό που λαμβάνουμε σαν έξοδο είναι το αρχικό μας σήμα $z^{n}$ πολλαπλασιασμένο με κάτι. Αυτό το κάτι εξαρτάται μόνο απ' το $z$ και θα το συμβολίσουμε ως $H(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}$, οπότε αν γνωρίζουμε το $H(z)$, απλώς το πολλαπλασιάζουμε με το αρχικό μας σήμα και έτσι εύκολα παίρνουμε την έξοδο. Η παραπάνω σειρά είναι μια σειρά Laurent. Γενικεύουμε τον παραπάνω συμβολισμό για κάθε σήμα $x[n]$ και έτσι ορίζουμε τον μετασχηματισμό Z.

Ορισμός

Για ένα διακριτό σήμα ο μετασχηματισμός Z του ορίζεται ως

$X(z){\overset {\underset {\Delta }{}}{=}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$

και συμβολίζεται επίσης ως ${\mathcal {Z}}\{x[n]\}$ και

$x[n]{\overset {\underset {\mathcal {Z}}{}}{\longleftrightarrow }}X(z)$