Αλγεβρικές δομές: διανυσματικός χώρος

Ορισμός

Διανυσματικός '''χώρος''' είναι αλγεβρική δομή. Αυτή η δομή έχει μια αντιμεταθετική και προσεταιριστική κλειστή πράξη που συνήθως αποκαλείται πρόσθεση, και μια δεύτερη κλειστή πράξη που συνήθως αποκαλείται '''κλιμάκωση''', ενώ η πρώτη είναι επιμεριστική ως προς την άλλη. Συμβολίζεται με ${\vec {a}}$

Η κλιμάκωση έχει ορίσματα ένα διάνυσμα και ένα άλλο στοιχείο, υπερσύνολο των φυσικών αριθμών. Η κλιμάκωση δεν έχει σύμβολο και δηλώνεται γράφοντας πρώτα το στοιχείο και έπεται το διάνυσμα, για παράδειγμα 2 ${\vec {u}}$ , όπου ${\vec {u}}$ είναι ένα διάνυσμα. Ισχύουν:

${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$
$({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})$
$(kl)\cdot {\vec {a}}=k\cdot (l{\vec {a}})=l\cdot (k{\vec {a}})$
$k\cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})=k\cdot {\vec {a}}+k\cdot {\vec {b}}$
$0\cdot {\vec {a}}={\vec {0}}$
$k\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$
$1\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}$

Το στοιχείο ${\vec {0}}$ είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Παράδειγμα διανυσματικού χώρου $\mathbb {R} ^{3}$ . Τα στοιχεία του χρησιμοποιούνται στη Φυσική για το συμβολισμό διανυσματικών μεγεθών όπως η θέση. Άλλο παράδειγμα διανυσματικού χώρου είναι μήτρες αριθμών. Άλλο παράδειγμα διανυσματικού χώρου είναι πραγματικές συναρτήσεις της ίδιας μεταβλητής:

f(x)=x+3

g(x)=10x

f(x)+g(x)=11x+3

2f(x)=2x+6

Γραμμικότητα

Το διάνυσμα $k{\underline {a}}+l{\underline {b}}$ λέγεται γραμμικός συνδυασμός των a και b.

Δύο διανύσματα λέγονται γραμμικώς ανεξάρτητα αν η σχέση

k{\vec {a}}+l{\vec {b}}={\vec {0}}

ισοδυναμεί με k=l=0.

Έστω δύο γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα. Υπάρχουν άπειρα διανύσματα που προκύπτουν ως γραμμικός συνδυασμός αυτών των δύο διανυσμάτων, τα οποία είναι ένας διανυσματικός χώρος.

Μια συνάρτηση f λέγεται γραμμική αν το πεδίο ορισμού της είναι διανυσματικός χώρος και αν για δύο οποιαδήποτε

{\underline {a}}

,

{\vec {b}}

και δύο οποιουσδήποτε αριθμούς k, l ισχύει:

f(k{\vec {a}}+l{\vec {b}})=kf({\vec {a}})+lf({\vec {b}})

Διανυσματική βάση και διάσταση

Διανυσματική βάση ενός διανυσματικού χώρου είναι σύνολο διανυσμάτων, όπου κανένα δεν είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.

Κάθε διάνυσμα του διανυσματικού χώρου είναι γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων μιας βάσης του χώρου. Έστω τα διανύσματα της βάσης ${\vec {u_{1}}},{\vec {u_{2}}},...$ και ένα τυχόν διάνυσμα ${\vec {v}}$ :

${\vec {v}}=a_{1}{\vec {u_{1}}}+a_{2}{\vec {u_{2}}}+...$

Για παράδειγμα στον $\mathbb {R} ^{3}$ τα διανύσματα (0,1,0),(1,0,0) και (0,0,1) δεν είναι κανένα γραμμικός συνδυασμός των άλλων δύο, ενώ κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφτεί ως α(0,1,0)+β(1,0,0)+γ(0,0,1)=(β,α,γ).

Διάσταση ενός διανυσματικού χώρου είναι το πλήθος των διανυσμάτων της διανυσματικής βάσης.

Η διάσταση κάθε διανυσματικού χώρου είναι μοναδική.

Εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

Εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι μια πράξη με αποτέλεσμα έναν αριθμό. Το εσωτερικό γινόμενο των

{\vec {a}}

,

{\vec {b}}

συμβολίζεται με

<{\vec {a}},{\vec {b}}>

και έχει τις εξής ιδιότητες:

$<{\vec {a}},{\vec {b}}>={\overline {<{\vec {b^{T}}},{\vec {a^{T}}}>}}$
$<k{\vec {a}},{\vec {b}}>=k<{\vec {a}},{\vec {b}}>$
$<{\vec {a}},{\vec {a}}>\geq 0$
$<{\vec {a}},{\vec {a}}>=0\equiv {\vec {a}}={\vec {0}}$

Σε διανυσματικούς χώρους που δεν είναι τετραγωνικοί πίνακες, το ανάστροφο στοιχείο ισούται με τον εαυτό του, άρα: $<{\vec {a}},{\vec {b}}>={\overline {<{\vec {b}},{\vec {a}}>}}$

Επιπλέον, στους πραγματικούς αριθμούς ο συζυγής ισούται με τον εαυτό του. Έτσι, αν δεν εμπλέκονται μιγαδικοί και δεν εμπλέκονται τετραγωνικοί πίνακες ισχύει:

$<{\vec {a}},{\vec {b}}>=<{\vec {b}},{\vec {a}}>$

Το εσωτερικό γινόμενο μονοδιάστατης μήτρας είναι το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων στοιχείων.

Για παράδειγμα: <[1,2,3],[3,-1,5]>=3-2+15=16

Το εσωτερικό γινόμενο τετραγωνικών μητρών είναι το ίχνος του γινομένου της πρώτης με την ανάστροφη της δεύτερης: $<A,B>=tr(AB^{T})$

Το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων του $\mathbb {R} ^{2}$ και $\mathbb {R} ^{3}$ , εκτός από τον παραπάνω ορισμό ισούται και με το γινόμενο των μηκών των δύο διανυσμάτων επί το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας. Έτσι, αν a, b δύο τέτοια διανύσματα:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=||{\vec {a}}||\times ||{\vec {b}}||\times cos({\hat {{\vec {a}},{\vec {b}}}})$

Το εσωτερικό γινόμενο στο διανυσματικό χώρο των πραγματικών συναρτήσεων f,g είναι το ολοκλήρωμα στο διάστημα [0,1] της f και της συζυγής της g τετραγώνου της συνάρτησης:

$<f,g>=\int _{0}^{1}f(t){\overline {g(t)}}dt$

Μέτρο ενός διανύσματος είναι η τετραγωνική ρίζα του εσωτερικού γινομένου του με τον εαυτό του. Το μέτρο του α συμβολίζεται με

Για παράδειγμα: $||(3,4)||={\sqrt {<(3,4),(3,4)>}}={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5$

Καθετότητα και ορθοκανονική βάση

Δύο διανύσματα a,b είναι κάθετα αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν.

Για παράδειγμα τα διανύσματα (3,0) και (0,-1) είναι κάθετα. Το εσωτερικό τους γινόμενο είναι 0.

Στα διανύσματα του $\mathbb {R} ^{2}$ και $\mathbb {R} ^{3}$ , η γωνία είναι 90°, και το συνημίτονό της 0.

Ορθογώνια βάση ενός διανυσματικού χώρου είναι διανυσματική βάση στην οποία κάθε διάνυσμά της είναι κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμα της βάσης.

Ορθοκανονική βάση ενός διανυσματικού χώρου είναι ορθογώνια βάση, της οποίας κάθε διάνυσμα έχει μέτρο 1.

Για παράδειγμα το σύνολο {(2,0),(0,1)} είναι ορθογώνια βάση στο $\mathbb {R} ^{2}$ . Το σύνολο {(1,0),(0,1)} είναι ορθοκανονική.

Μοναδιαίο διάνυσμα ενός διανυσματικού χώρου είναι διάνυσμα που ανήκει σε κάποια ορθοκανονική του βάση.

Κάθε διάνυσμα είναι γραμμικός συνδυασμός των μοναδιαίων διανυσμάτων μιας βάσης. Έστω ${\vec {v}}$ το διάνυσμα, ο συντελεστής $a_{i}$ του i-στου μοναδιαίου διανύσματος ${\vec {u_{i}}}$ στο γραμμικό συνδυασμό που συνθέτει το ${\vec {v}}$ ισούται με:

$a_{i}=<{\vec {v}},{\vec {u_{i}}}>$

${\vec {v}}=a_{1}{\vec {u_{1}}}+a_{2}{\vec {u_{2}}}+...=<{\vec {v}},{\vec {u_{1}}}>{\vec {u_{1}}}+<{\vec {v}},{\vec {u_{2}}}>{\vec {u_{2}}}+...$