Γεωμετρικοί τόποι

Από Βικιεπιστήμιο
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Η τροχιά ενός σώματος γύρω από ένα άλλο στο διάστημα είναι ένας γεωμετρικός τόπος, το οποίο προκύπτει από τη δύναμη της βαρύτητας.

Είναι σύνηθες στη μηχανική, φυσική και άλλες επιστήμες να προκύπτουν σχέσεις που εμπλέκουν σημεία ή συντεταγμένες τους. Έτσι, χρησιμοποιούν την αναλυτική γεωμετρία, για να βρουν τα γεωμετρικά σχήματα που περιγράφουν οι σχέσεις.

Πολλές φορές απαιτείται κάποια ακρίβεια, δηλαδή στο εκτιμώμενο γεωμετρικό σχήμα να ανήκουν όλα ανεξαιρέτως τα σημεία που ικανοποιούν τη σχέση. Επιπλέον, συχνά απαιτείται προφανώς όλα τα σημεία του σχήματος να ικανοποιούν τη σχέση. Έτσι, εννοείται η έννοια του γεωμετρικού τόπου. Παρακάτω περιγράφεται οι σχέσεις μεταξύ ενός γεωμετρικού σχήματος και μιας αλγεβρικής σχέσης.

Η έννοια του γεωμετρικού τόπου[επεξεργασία]

Αλγεβρική σχέση και γεωμετρικό σχήμα[επεξεργασία]

Ο κύκλος και τα τέσσερα αναφερόμενα σημεία.

Έστω ένα γεωμετρικό σχήμα και μια αλγεβρική σχέση. Για παράδειγμα, έστω ένας κύκλος ακτίνας 10 και κέντρου την αρχή των αξόνων στο επίπεδο Οχψ και η αλγεβρική σχέση . Για να κατανοηθεί η έννοια του γεωμετρικού τόπου εξετάζονται τα σημεία ως προς δύο πράγματα:

  • Ανήκουν στο γεωμετρικό σχήμα;
  • Επαληθεύουν την αλγβρική σχέση;

Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις για κάθε σημείο:

  1. Δεν ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα, ούτε επαληθεύει την αλγεβρική σχέση. Για παράδειγμα το σημείο (4,2) δεν ανήκει στον κύκλο ούτε επαληθεύει την αλγεβρική σχέση.
  2. Ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα, αλλά δεν επαληθεύει την αλγεβρική σχέση. Για παράδειγμα το σημείο (10,0) ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα, αλλά δεν ανήκει στην αλγεβρική σχέση.
  3. Δεν ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα, αλλά επαληθεύει την αλγεβρική σχέση. Για παράδειγμα το σημείο (4,4) δεν ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα, αλλά επαληθεύει την αλγεβρική σχέση.
  4. Ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα και επαληθεύει την αλγεβρική σχέση. Για παράδειγμα το σημείο ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα και επαληθεύει την αλγεβρική σχέση.

Αναγκαία συνθήκη του γεωμετρικού σχήματος[επεξεργασία]

Η διχοτόμος του πρώτου τεταρτιμορίου.

Έστω ένα γεωμετρικό σχήμα. Μια αλγεβρική σχέση μπορεί να είναι αναγκαία για αυτό το γεωμετρικό σχήμα. Δηλαδή, αν θεωρήσουμε το συγκεκριμένο γεωμετρικό σχήμα, η αλγεβρική σχέση επαληθεύεται για κάθε σημείο του σχήματος. Για παράδειγμα, έστω η διχοτόμος του πρώτου τεταρτιμορίου του επιπέδου Οχψ. Η αλγεβρική σχέση επαληθεύεται για κάθε σημείο της διχοτόμου. Η αλγεβρική σχέση είναι αναγκαία συνθήκη της διχοτόμου, ισχύει αυτόματα κάθε φορά που αναφερόμαστε στη διχοτόμο.

Ικανή συνθήκη του γεωμετρικού σχήματος[επεξεργασία]

Οι διχοτόμοι των τεταρτιμορίων.

Έστω ένα γεωμετρικό σχήμα. Μια αλγεβρική σχέση μπορεί να είναι ικανή για αυτό το γεωμετρικό σχήμα. Δηλαδή, αν θεωρήσουμε το συγκεκριμένο γεωμετρικό σχήμα, κάθε σημείο για το οποίο επαληθεύεται η αλγεβρική σχέση ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα. Για παράδειγμα, έστω οι διχοτόμοι των τεσσάρων τεταρτιμορίων του επιπέδου Οχψ. Κάθε σημείο για το οποίο ισχύει η αλγεβρική σχέση ανήκει στο θεωρημένο γεωμετρικό σχήμα. Η αλγεβρική σχέση είναι ικανή συνθήκη της διχοτόμου, δεν ισχύει πουθενά αλλού εκτός από κάποια σημεία που ανήκουν στο γεωμετρικό σχήμα.

Γεωμετρικός τόπος[επεξεργασία]

Γεωμετρικός τόπος της αλγεβρικής σχέσης Α(P)=0 ονομάζεται το σύνολο των σημείων P για τα οποία ισχύει η σχέση A(P)=0.


Για το γεωμετρικό τόπο η αλγεβρική σχέση είναι ικανή και αναγκαία. Κάθε σημείο που ανήκει στο γεωμετρικό τόπο επαληθεύει την αλγεβρική σχέση και αντιστρόφως κάθε σημείο που επαληθεύει την αλγεβρική σχέση ανήκει στο γεωμετρικό τόπο.

Σημαντικοί γεωμετρικοί τόποι[επεξεργασία]

Οι γεωμετρικοί τόποι διακρίνονται στους γεωμετρικούς τόπους ισοτήτων και στους γεωμετρικούς τόπους ανιστοήτων.

Ισότητες[επεξεργασία]

Ευθεία[επεξεργασία]

Έχουμε ήδη αναφέρει ότι η αλγεβρική σχέση που αναπαριστά ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α, Β είναι ο τύπος με όρισμα το διάνυσμα θέσης .

Επίπεδο[επεξεργασία]

Κύκλος[επεξεργασία]

Ανισότητες[επεξεργασία]

Γεωμετρική ερμηνεία Αλγεβρικών συστήματων[επεξεργασία]