Δεσμευμένη πιθανότητα

Από Βικιεπιστήμιο
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Δεσμευμένη πιθανότητα (αγγλικά: conditional probability) ονομάζουμε τη πιθανότητα ενός ενδεχομένου ξέροντας ότι ήδη έχει συμβεί ένα άλλο ενδεχόμενο , και το γράφουμε ως .

Εισαγωγή[επεξεργασία]

Ο Γιώργος, που του αρέσουν τα τυχερά παιχνίδια, αποφασίζει να παίξει ένα παιχνίδι με ζάρια. Σ' αυτό το παιχνίδι οι κανόνες είναι απλοί: ο παίκτης που θα τύχει το μεγαλύτερο νούμερο κερδίζει, εκτός αν κάποιος τύχει διπλή ζαριά, οπότε κερδίζει η μεγαλύτερη διπλή ζαριά. Όπως πάντα υποθέτουμε ότι τα ζάρια είναι δίκαια και ο Γιώργος ρίχνει το πρώτο του ζάρι, το οποίο τυχαίνει να είναι έξι. Αν υποθέσουμε ότι έχει παίξει ήδη ένας άλλος παίκτης που έχει φέρει δέκα χωρίς διπλή ζαριά, ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει ο Γιώργος τον γύρο;

Εφόσον ξέρουμε ότι το πρώτο ζάρι έτυχε έξι και θέλουμε το άθροισμα να είναι μεγαλύτερο του δέκα, τότε για να είναι ο Γιώργος ο νικητής πρέπει το δεύτερο ζάρι να τύχει ή 5 ή 6. Βλέπουμε ότι η πρώτη ζαριά βοήθησε το Γιώργο, αν είχε φέρει 3 ή μικρότερο αριθμό θα είχε χάσει το παιχνίδι απ' την πρώτη ζαριά. Μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε ότι η πιθανότητα να κερδίσει το παιχνίδι είναι .

Ξαναπαίζοντας το παιχνίδι, ο αντίπαλος του Γιώργου τυχαίνει δύο με διπλή ζαριά, δηλαδή δύο άσους. Ο Γιώργος ξαναρίχνει το πρώτο ζάρι και τυχαίνει ξανά έξι. Σε αυτήν την περίπτωση όμως μπορεί να κερδίσει μόνο με διπλή γιατί ο αντίπαλός του έχει φέρει διπλή, δηλαδή μπορεί να κερδίσει μόνο αν και το επόμενο ζάρι είναι έξι. Έτσι τώρα η πιθανότητα νίκης είναι . Το ότι το πρώτο ζάρι είναι 6 δεν έχει όμως καμιά σημασία για το πόσο πιθανό είναι να νικήσει, θα μπορούσε να είναι οποιοδήποτε νούμερο (εκτός από άσο) και πάλι η πιθανότητα θα ήταν . Γίνεται λοιπόν προφανές ότι η πιθανότητα μερικών ενδεχομένων εξαρτάται από την εκ των προτέρων γνώση μερικών άλλων ενδεχομένων, όπως στο παράδειγμά μας με το ζάρι.

Δεσμευμένη πιθανότητα[επεξεργασία]

Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε δύο ενδεχόμενα και .

Ορισμός
Η δεσμευμένη πιθανότητα ενός γεγονότος ενώ ξέρουμε ότι ένα ενδεχόμενο πραγματοποιείται, που συμβολίζεται , ορίζεται ως
και το διαβάζουμε πιθανότητα του δεδομένου του .