Διαφορικές Εξισώσεις/Βασικές έννοιες

Ορισμός

Διαφορική εξίσωση ονομάζουμε μια εξίσωση που περιέχει μια ή περισσότερες παραγώγους μιας συνάρτησης και ίσως και την ίδια τη συνάρτηση. Τα παρακάτω παραδείγματα αποτελούν δείγματα διαφορικών εξισώσεων:

• ${\frac {dy}{dx}}=4$
• ${\frac {dy}{dx}}=6x+c,c\in \mathbb {R}$
• $x^{\alpha }+({\frac {{d^{2}}y}{dx^{2}}})^{3}=\ell {nx}$
• $y\cdot {y'}+cx=\cos x$
• ${\frac {{{\partial }^{2}}y}{\partial x^{2}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}y}{\partial t^{2}}}=0$

Οι διαφορικες εξισώσεις χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ordinary differential equation - ODE) που περιέχουν παραγώγους συναρτήσεων μίας μόνο ανεξάρτητης μεταβλητής και τις μερικές διαφορικές εξισώσεις (partial differential equation - PDE) που περιέχουν παραγώγους συναρτήσεων που εξαρτώνται από δύο ή περισσότερες μεταβλητές.

Η τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται η μεγαλύτερη τάξη απ' τις παραγώγους που εμφανίζονται στην εξίσωση. Για παράδειγμα, η τρίτη εξίσωση απ' τα παραδείγματά μας είναι εξίσωση 2ας τάξεως, άσχετα με το ότι η παράγωγος είναι υψωμένη στην τρίτη δύναμη, γιατί η τάξη της μεγαλύτερης παραγώγου - στην περίπτωσή μας της μοναδικής παραγώγου - είναι η 2η τάξη.

Συμβολισμός

Για τον συμβολισμό της παραγώγου χρησιμοποιούμε τους συμβολισμούς των Leibniz, Lagrange, Newton ή Euler, ανάλογα με το ποιος είναι πιο χρήσιμος στο συγκεκριμένο πρόβλημα το οποίο μελετάμε.

Συμβολισμός του Leibniz

Αυτός ο συμβολισμός είναι πολύ χρήσιμος όταν μελετάμε προβλήματα ρυθμού μεταβολής μεταξύ δύο ποσοτήτων ή πιο γενικά όταν υπάρχει μια συναρτησιακή σχέση μεταξύ κάποιων εξαρτημένων και ανεξάρτητων μεταβλητών. Αν θεωρήσουμε τη σχέση $y=f(x)$ με αυτόν τον τρόπο η πρώτη παράγωγος συμβολίζεται ως

${\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}}(x)\;\;$   ή   $\;\;{\frac {d}{dx}}f(x).$