Εμβαδική ταχύτητα

Στην Κλασσική μηχανική, η εμβαδική ταχύτητα (areal velocity, sectorial ή sector velocity) είναι ένα διανυσματικό μέγεθος που ισούται αριθμητικά με το μέτρο της ειδικής σχετικής γωνιακής ορμής του σώματος πολλαπλασιασμένο με 1/2. Εκφράζει πόσο γρήγορα διαγράφει ένα σώμα εμβαδόν (σύμφωνα με ένα σημείο αναφοράς Ο) όταν κινείται πάνω σε μία καμπύλη.$${\dot {\vec {A}}}={\frac {1}{2}}{\vec {h}}$$Στο επόμενο σχήμα, θεωρήστε πως το υλικό σημείο (Σ) κινείται κατά μήκος της μαύρης καμπύλης. Θ και Θ' είναι δύο θέσεις που προσδιορίζονται από την διάνυσμα θέσης σύμφωνα με το Ο. Το εμβαδόν που διέγραψε το σώμα κατά την διάρκεια κίνησης του από το Θ στο Θ' είναι η χρωματισμένη περιοχή στο σχήμα. Η εμβαδική ταχύτητα ισούται αριθμητικά με αυτήν την διαγραμμένη περιοχή που εκτέλεσε σε χρονικό διάστημα Δt διαιρεμένη δια αυτό το χρονικό διάστημα στο όριο όπου το Δt << 1.

Εμβαδική ταχύτητα υλικού σημείου.

1]Προσέγγιση χωρίς συστήμα συντεταγμένων

Όπως αναφέραμε και παραπάνω, θεωρούμε υλικό σημείο που προσδιορίζεται από διανυσματική συνάρτηση r και κινείται στο xy επίπεδο. Έστω Θ και Θ' δύο θέσεις στην τροχιά του τις χρονικές στιγμές t και t + dt.

Aerial Velocity

Το εμβαδόν που καλύπτει η ακτίνα r στο χρονικό διάστημα dt είναι ίσο κατά προσέγγιση με

$$\Delta A={\frac {1}{2}}|{\vec {r}}\times {\vec {r}}'|$$

Εάν θέσουμε r' = r + Δr

η σχέση γίνεται:$$\Delta A={\frac {1}{2}}|{\vec {r}}\times ({\vec {r}}+{\vec {\Delta }}r)|={\frac {1}{2}}|{\vec {r}}\times {\vec {r}}+{\vec {r}}\times \Delta {\vec {r}}|$$Ισχύει όμως ό,τι $${\vec {r}}\upuparrows {\vec {r}}\Leftrightarrow {\vec {r}}\times {\vec {r}}={\vec {0}}$$Επομένως:$$\Delta A={\frac {1}{2}}|{\vec {r}}\times \Delta {\vec {r}}|$$Εαν διαιρέσουμε με $\Delta t$ και πάρουμε το όριο $\Delta t\rightarrow 0$ γίνεται:

$$\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta A}{\Delta t}}={\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{2}}|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|={\dot {A}}\ (1)$$και σε διανυσματική μορφή:$${\dot {\vec {A}}}={\frac {1}{2}}[{\vec {r}}\times {\vec {v}}]$$Όπως παρατηρείται εύκολα, ο τύπος αυτός είναι ανεξάρτητος από σύστημα συντεταγμένων.

2]Καρτεσιανές συντεταγμένες

Σε καρτεσιανές συντεταγμένες συντεταγμένες έχουμε την διανυσματική συνάρτηση θέσης r.

$${\vec {r}}=x(t){\hat {i}}+y(t){\hat {j}},\ \ (z=0)$$και η ταχύτητα$${\dot {\vec {r}}}={\dot {x}}(t){\hat {i}}+{\dot {y}}(t){\hat {j}}$$

Επομένως το εξωτερικό γινόμενο είναι:$${\vec {r}}\times {\vec {v}}={\begin{vmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\x(t)&y(t)&0\\{\dot {x}}(t)&{\dot {y}}(t)&0\end{vmatrix}}{\begin{matrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}\\x(t)&y(t)\\{\dot {x}}(t)&{\dot {y}}(t)\end{matrix}}$$Έτσι γίνεται:$${\vec {r}}\times {\vec {v}}={\begin{vmatrix}y(t)&0\\{\dot {y}}(t)&0\end{vmatrix}}{\hat {i}}-{\begin{vmatrix}x(t)&0\\{\dot {x}}(t)&0\end{vmatrix}}{\hat {j}}+{\begin{vmatrix}x(t)&y(t)\\{\dot {x}}(t)&{\dot {y}}(t)\end{vmatrix}}{\hat {k}}$$ Από όπου παίρνουμε:$${\vec {r}}\times {\vec {v}}=(x{\dot {y}}-{\dot {x}}y){\hat {k}}\Leftrightarrow |{\vec {r}}\times {\vec {v}}|=x{\dot {y}}-{\dot {x}}y$$

Έτσι, η σχέση (1) γίνεται:$${\dot {A}}\ ={\frac {1}{2}}(x{\dot {y}}-{\dot {x}}y)$$και σε διανυσματική μορφή$${\dot {\vec {A}}}\ ={\frac {1}{2}}(x{\dot {y}}-{\dot {x}}y){\hat {k}}$$

3]Πολικές συντεταγμένες

Στις πολικές συντεταγμένες η διανυσματική συνάρτηση r είναι της μορφής$${\vec {r}}=r{\hat {e}}_{r}$$και η ταχύτητα$${\vec {v}}={\dot {r}}{\hat {e}}_{r}+r{\dot {\theta }}{\hat {e}}_{\theta }$$Οπότε:$${\vec {r}}\times {\vec {v}}=r{\hat {e}}_{r}\times ({\dot {r}}{\hat {e}}_{r}+r{\dot {\theta }}{\hat {e}}_{\theta })={\vec {0}}+r^{2}{\dot {\theta }}({\hat {e}}_{r}\times {\hat {e}}_{\theta })\Rightarrow |{\vec {r}}\times {\vec {v}}|=r^{2}\theta$$Χρησιμοποιώντας αυτήν την σχέση στην (1) έχουμε:$${\dot {A}}\ ={\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}$$και σε διανυσματική μορφή.$${\dot {\vec {A}}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}({\hat {e}}_{r}\times {\hat {e}}_{\theta })$$Πηγές: "Θεωρητική Μηχανική, Τόμος Α', Νευτώνεια Μηχανική(τρίτη έκδοση)" , Ιωάννης Δ. Χατζηδημητρίου, Εκδόσεις Γιαχούδη Θεσσαλονίκη 2000