Ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές, διαγωνιοποίηση

Από Βικιεπιστήμιο
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Επιστροφή στη Γραμμική Άλγεβρα.

Ιδιοδιάνυσμα του πίνακα ονομάζεται η μη μηδενική λύση της εξίσωσης . Ο αριθμός l ονομάζεται ιδιοτιμή.


Έσωτ ο και ο . Τότε, ισχύει:

  • Για να γίνει ο πολλαπλασιασμός πινάκων πρέπει m=s.
  • Από την ισότητα , άρα n=s.
  • Άρα n=m, δηλαδή ο πίνακας είναι τετραγωνικός.

Έστω ότι ο πίνακας είναι διάνυσμα, δηλαδή t=1.

Σημειώστε ότι η είναι μη γραμμική εξίσωση.Το πολλαπλασιάζει το . Aν μπορούμε να ανακαλύψουμε το τότε η εξίσωση θα ήταν γραμμική ως προς Πράγματι τότε θα γράφαμε αντί για και θα φέρναμε αυτόν τον όρο στην αριστερή πλευρά:

Το κλειδί για τη λύση του προβλήματος είναι το εξής:

  • Το διάνυσμα περιέχεται στον μηδενοχώρο του
  • Ο αριθμός είναι τέτοιος ώστε το να έχει μηδενοχώρο

Βέβαια, κάθε πίνακας έχει μηδενόχωρο. Είναι αστείο να πούμε κάτι διαφορετικό, καταλαβαίνετε όμως τι εννοούμε. Εννοούμε μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα . Το διάνυσμα ικανοποιεί πάντοτε την και περιέχεται πάντοτε στο μηδενόχωρο, για τη λύση όμως διαφορικών εξισώσεων είναι άχρηστο. Στόχος μας είναι να συναρμολογήσουμε τη λύση χρησιμοποιώντας εκθετικές , και μας ενδιαφέρουν μόνον εκείνες οι ειδικές τιμές του , για τις οποίες υπάρχει ένα μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα . Για να έχει κάποια χρησιμότητα ο μηδενοχώρος του , πρέπει να περιέχει διανύσματα διαφορετικά του μηδενός. Με λίγα λόγια, ο πρέπει να είναι ιδιόμορφος.

Η ορίζουσα δίνει ένα αποτελεσματικό κριτήριο γι αυτό.

αριθμός είναι ιδιοτιμή του Α όταν και μόνον όταν ισχύει

Αυτή είναι η χαρακτηριστική εξίσωση και σε κάθε λύση της αντιστοιχεί ένα ιδιοδιάνυσμα :

ή

Έστω ότι άρα ο

και η ορίζουσα αυτό είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και οι ιδιοτιμές είναι οι λύσεις του .

ή

Υπάρχουν δύο ιδιοτιμές, διότι κάθε τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες Κάθε 2 επί 2 πίνακας έχει στην ορίζουσά του το (αλλά όχι μεγαλύτερη δύναμή του). Κάθε μία απ' αυτές τις ειδικές τιμές, και , οδηγεί σε μια λύση του Ένας πίνακας με μηδενική ορίζουσα είναι ιδιόμορφος και επομένως ο μηδενόχωρός του περιέχει ένα μη μηδενικό διάνυσμα . Στην πραγματικότητα ο μηδενόχωρος περιέχει μια ολόκληρη ευθεία από ιδιοδιανύσματα: είναι ένας υποχώρος!

  • για ,

άρα το πρώτο ιδιοδιάνυσμα είναι οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του

  • για

άρα το πρώτο ιδιοδιάνυσμα είναι οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του

μέθοδος υπολογισμού ιδιοτιμής :

  1. Υπολόγισε την ορίζουσα του . Όταν αφαιρεθεί το από τα διαγώνια στοιχεία, η ορίζουσα αυτή είναι ένα πολυώνυμο βαθμού .
  2. Βρες τις ρίζες αυτού του πολυωνύμου. Οι ρίζες είναι οι ιδιοτιμές.
  3. Για κάθε μία ιδιοτιμή,λύσε το σύστημα . Επειδή η ορίζουσα είναι μηδέν, υπάρχουν λύσεις διαφορετικές της . Αυτές είναι τα ιδιοδιανύσματα.