Κινηματική υλικού σημείου

Η κινηματική υλικού σημείου είναι ένας κλάδος της κλασσικής μηχανικής που ασχολείται με τις γεωμετρικές ιδιότητες της κίνησης ενός υλικού σημείου.

1] Ταχύτητα και επιτάχυνση υλικού σημείου

Η θέση ενός σωματιδίου S σε ένα σύστημα αναφοράς προσδιορίζεται από το διάνυσμα θέσης ${\vec {r}}$(t) ως προς ένα αυθαίρετο σημείο O στον χώρο. Το σύνολο όλων των σημείων που προσδιορίζει η διανυσματική συνάρτηση θέσης ονομάζεται τροχιά του σωματιδίου S. Στην παρακάτω εικόνα, η τροχιά του σωματιδίου S είναι μια καμπύλη Παρατηρήστε ό,τι η διανυσματική συνάρτηση ${\vec {r}}={\vec {r}}(t)$ είναι ανεξάρτητη από οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων.

Image (1)

Η ταχύτητα του (S) ορίζεται ως η πρώτη παράγωγος σύμφωνα με τον χρόνο. Επομένως:

$${\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\dot {\vec {r}}}$$

Όπως φαίνεται από την προηγούμενη σχέση, το διάνυσμα της ταχύτητας είναι εφαπτόμενο της τροχιάς που διαγράφει το υλικό σημείο (S)

Η επιτάχυνση του (S) ορίζεται ως η πρώτη παράγωγος της ταχύτητας. Επομένως:

$${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\dot {\vec {v}}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}={\ddot {\vec {r}}}$$

2] Κεντρομόλος και επιτρόχια επιτάχυνση

Στην προηγούμενη παράγραφο, η ανεξάρτητη μεταβλητή της διανυσματικής συνάρτησης της θέσης ήταν ο χρόνος. Μπορούμε να υποθέσουμε όμως, ό,τι το διάνυσμα ${\vec {r}}$ είναι συνάρτηση της απόστασης s (βλέπε εικόνα 1) που διαγράφει το σωματίδιο πάνω στην τροχιά. Αυτό μπορεί να εκφραστεί ως εξής:

$${\vec {r}}={\vec {r}}(s)$$

και

$$s=s(t)$$

Για να βρούμε την συνάρτηση της ταχύτητας παραγωγίζουμε την συνάρτηση θέσης ως προς το χρόνο

$${\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\frac {d{\vec {r}}}{ds}}{\frac {ds}{dt}}=v{\hat {\varepsilon }}$$

όπου ${\hat {\varepsilon }}$ είναι το εφαπτόμενο μοναδιαίο διάνυσμα εφαπτόμενο στην τροχιά και είναι συνάρτηση του χρόνου.

Για να βρούμε την επιτάχυνση του σωματιδίου, παραγωγίζουμε την ταχύτητα ως προς τον χρόνο. Παρατηρήστε ό,τι ${\dot {s}}=v=v(t)$ και ${\hat {\varepsilon }}(t)$. Επομένως, έχουμε:

$${\vec {a}}={\frac {dv}{dt}}{\hat {\varepsilon }}+v{\frac {d{\hat {\varepsilon }}}{dt}}\quad (1)$$

Αλλα ισχύει ό,τι:

$${\frac {d{\hat {\varepsilon }}}{dt}}={\frac {d{\hat {\varepsilon }}}{ds}}{\frac {ds}{dt}}={\frac {d{\hat {\varepsilon }}}{ds}}{\dot {s}}$$

Εφαρμόζοντας αυτό στο (1), έχουμε:

$${\vec {a}}={\frac {dv}{dt}}{\hat {\varepsilon }}+{\frac {d{\hat {\varepsilon }}}{ds}}v^{2}\quad (1.1)$$

Λαμβάνοντας υπ' όψιν του τύπους Frenet-Serret formulas, ξέρουμε ό,τι ${\frac {d{\hat {\varepsilon }}}{ds}}={\frac {\hat {\nu }}{R}}$όπου ν είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην απειροστή τροχιά..

Οπότε η (1.1) γίνεται

$${\vec {a}}={\frac {dv}{dt}}{\hat {\varepsilon }}+{\frac {v^{2}}{R}}{\hat {\nu }}\quad (1.2)$$

Καταλήγουμε ό,τι η επιτάχυνση έχει αναλυθεί σε δύο συνιστώσες. Μία στην κατεύθυνση της τροχιάς $({\frac {dv}{dt}}{\hat {\varepsilon }})$ και μία κάθετη στην απειροστή τροχιά (${\frac {v^{2}}{R}}{\hat {\nu }})$. Η πρώτη συνιστώσα λέγεται επιτρόχιος επιτάχυνση και η δεύτερη κεντρομόλος επιτάχυνση.

Παρατηρήστε ό,τι όταν:

$${\dot {s}}=0\Rightarrow {\vec {a}}={\frac {v^{2}}{R}}{\hat {n}}\Leftrightarrow |{\vec {a}}|={\frac {v^{2}}{R}}$$

Αυτή η κίνηση ονομάζεται ομαλή κυκλική. Το (S) διαγράφει περιφέρεια κύκλου ακτίνας R και έχει σταθερό μέτρο ταχύτητας υ

3] Καρτεσιανές συντεταγμένες

Στις προηγούμενες παραγράφους, οι τύποι βρίσκονταν σε διανυσματική μορφή και κατα συνέπεια ήταν ανεξάρτητη από συντεταγμένες. Αλλα πολλές φορές είναι χρήσιμο να χρησιμοποιούμε συστήματα συντεταγμένων για να προσδιορίσουμε την κίνηση ενος σωματιδίου κινούμενο στον χώρο.

Εαν (x,y,z) είναι οι συντεταγμένες ενος υλικού σημείου S στον χώρο, τότε ισχύει ό,τι:

$$S=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle$$

Και το διάνυσμα θέσης που προσδιορίζει την θέση του,

$${\overrightarrow {OS}}(t)={\vec {r}}(t)=x(t){\hat {i}}+y(t){\hat {j}}+z(t){\hat {k}}$$

όπου i,j,k, τα μοναδιαία διανύσματα που αντιπροσωπεύουν τις ημιευθείες Οx, Οy και Οz αντίστοιχα

$${\hat {i}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},{\hat {j}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},{\hat {k}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$$

Η ταχύτητα του (S) είναι:

$${\dot {\vec {r}}}={\dot {x}}{\hat {i}}+{\dot {y}}{\hat {j}}+{\dot {z}}{\hat {k}}$$

και η επιτάχυνση του:

$${\ddot {\vec {r}}}={\ddot {x}}{\hat {i}}+{\ddot {y}}{\hat {j}}+{\ddot {z}}{\hat {k}}$$

Ασκήσεις]

1] Βρείτε τις ταχύτητα και την επιτάχυνση ενός σωματιδίου εάν προσδιοριζόνταν από τα παρακάτω διανύσματα θέσης. Ποιες από τις παρακάτω διανυσματικές συναρτήσεις δεν έχουν νόημα και γιατί?

a)${\vec {r}}=\langle t,5,{\sqrt {-t^{2}-3t-2)}}\rangle$

b) ${\vec {r}}=\langle 3t^{2},5t,3\rangle$

c)${\vec {r}}=\langle t,t^{3}-10t+5,0\rangle$

d)${\vec {r}}=\langle 3t,4t^{2},-10\rangle$

e)${\vec {r}}=\langle t,e^{t},1\rangle$

f)${\vec {r}}=\langle 5t,cosx(t)\rangle$

g)${\vec {r}}=\langle t^{6},sin(5t),ln(t+2)\rangle$

h)${\vec {r}}=\langle t,{\frac {4}{\sqrt {-(t^{2}+3t+2)}}},ln(t)\rangle$

i)${\vec {r}}=\langle t,1\rangle$

j)${\vec {r}}=\langle e^{t},{\sqrt {e^{t}}},{\sqrt {9-|t+5|^{2}}}\rangle$

2]Ένα σώμα P κινείται στον χώρο και προσδιορίζεται από διάνυσμα θέσης ${\vec {r}}=\langle 3t,7t^{2},t\rangle$. Να βρεθούν οι συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σωματιδίου στους άξονες x,y και z.

3]Yλικό σημείο G κινείται πάνω σε έλλειψη. Να αποδείξετε ό,τι η επιτάχυνση του σωματιδίου είναι συνάρτηση της θέσης του.

4]Σωματίδιο K έχει επιτάχυνση ${\vec {a}}=\langle 1,3,6\rangle$. Να βρεθούν οι διανυσματικές συναρτήσεις της ταχύτητας και της θέσης του σωματιδίου εάν ${\vec {v}}_{o}=\langle 2,4,1\rangle ,\ \ {\vec {r}}_{o}=\langle 2,7,3\rangle$.

5]Ένα σωματίδιο κινείται στο επίπεδο με σταθερό μέτρο ταχύτητας. Να αποδείξετε ό,τι η ταχύτητα είναι κάθετη στην επιτάχυνση του σωματιδίου.

6]Υλικό σημείο I ταλαντεύεται αρμονικά σε δύο διαστάσεις. Εάν δίνεται $x(t)=Asin(\omega t)\ ,\ y(t)=Bsin(\omega t+\phi )$. Να βρεθεί για ποιες τιμές των παραμέτρων η τροχιά είναι ευθύγραμμη ή ταυτίζεται με την περιφέρεια ενός κύκλου.

7]Ένα σώμα κινείται πάνω στο επίπεδο, με σταθερό μέτρο ταχύτητας και σταθερό μέτρο επιτάχυνσης. Να αποδείξετε ό,τι η τροχιά του σώματος ταυτίζεται με την περιφέρεια ενός κύκλου.

Πηγές: "Θεωρητική μηχανική", τόμος Α' (Νευτώνεια μηχανική), τρίτη έκδοση, Ιωάννης Δ. Χατζηδημητρίου, Εκδόσεις Γιαχούδη Θεσσαλονίκη 2000