Μήτρες

Επιστροφή σε Γραμμική Άλγεβρα.

Ορισμοί

Μήτρα ή πίνακας στοιχείων του Α είναι ένα στοιχείο του Αn, όπου Α είναι ένα σύνολο στοιχείων ή μήτρα.

Κάθε μήτρα είναι μια n-άδα.

Συνήθως, εννοείται μήτρα τύπου ($\mathbb {R}$ⁿ)^m.

Η μήτρα τύπου ($\mathbb {R}$ⁿ)^m θα είναι πλέον γνωστές ως πίνακες. Ο πίνακας είναι μια ορθογώνια διάταξη αριθμών τοποθετημένων σε γραμμές και στήλες. Για παράδειγμα τα παρακάτω είναι πίνακες:

${\begin{bmatrix}1&5\\-3&4\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}10&8&-1&9\\-6&7&2&-3\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}5\\4\\2\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}-1&4&3\end{bmatrix}}$

Ο πίνακες χαρακτηρίζονται από το πλήθος των γραμμών και των στηλών ως n$\times$m, όπου n το πλήθος των γραμμών και m το πλήθος των στηλών.

Έτσι, οι παραπάνω πίνακες είναι 2$\times$2, 2$\times$4, 3$\times$1, 1$\times$3 αντίστοιχα.

Ένας πίνακας συμβολίζεται ως (a_ij), ενώ το στοιχείο της i-στής γραμμής και j-στής στήλης συμβολίζεται με a_ij.

Έτσι, αν (a_ij),(b_ij),(c_ij),(d_ij) οι παραπάνω πίνακες είναι:

a₁₂=5

b₂₄=-3

c₁₁=5

d₃₁=3

Πίνακας γραμμή είναι πίνακας $1\times n$.

Πίνακας στήλη είναι πίνακας $n\times 1$.

Τετραγωνικός πίνακας είναι ο πίνακας $n\times n$.

Έτσι, ο πρώτος πίνακας είναι τετραγωνικός.

Μηδενικός πίνακας είναι πίνακας όπου κάθε στοιχείο του είναι 0.

Παράδειγμα μηδενικού: ${\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

Αραιός πίνακας είναι πίνακας που περιέχει πολλά μηδενικά στοιχεία.

Παράδειγμα αραιού πίνακα: ${\begin{bmatrix}10&0&0&0\\0&1&3&0\\4&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

Διαγώνιος και τριγωνικοί πίνακες

Κύρια διαγώνιος ενός τετραγωνικού πίνακα (aij) είναι τα στοιχεία aii.

Για παράδειγμα η διαγώνιος του ${\begin{bmatrix}1&5\\-3&4\end{bmatrix}}$ παραπάνω είναι τα στοιχεία 1 και 4.

Δευτερεύουσα διαγώνιος ενός τετραγωνικού $n\times n$ πίνακα (aij) είναι τα στοιχεία aij με i+j=n+1.

Για παράδειγμα η δευτερεύουσα διαγώνιος του ${\begin{bmatrix}1&5\\-3&4\end{bmatrix}}$ παραπάνω είναι τα στοιχεία 5 και -3.

Διαγώνιος πίνακας είναι πίνακας όπου κάθε στοιχείο aij με $i\neq j$ είναι 0.

Παράδειγμα διαγώνιου πίνακα: ${\begin{bmatrix}10&0&0\\0&7&0\\0&0&8\end{bmatrix}}$

Άνω τριγωνικός πίνακας είναι πίνακας όπου κάθε στοιχείο aij με $i>j$ είναι 0.

Παράδειγμα άνω τριγωνικών: ${\begin{bmatrix}10&8&-1\\0&7&-3\\0&0&8\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}0&0&-1\\0&7&-3\\0&0&8\end{bmatrix}}$

Κάτω τριγωνικός πίνακας είναι πίνακας όπου κάθε στοιχείο aij με $i<j$ είναι 0.

Παράδειγμα κάτω τριγωνικού: ${\begin{bmatrix}10&0&0\\-6&0&0\\0&1&8\end{bmatrix}}$