Νόμοι του Νεύτωνα

Οι νόμοι ή τα αξιώματα του Νεύτωνα είναι τρεις φυσικοί νόμοι, όπου αποτελούν τα θεμέλια της Κλασσικής μηχανικής. Περιγράφουν την σχέση μεταξύ ενός σώματος και των δυνάμεων που του ασκούνται, και την κίνηση του, ως άμεσο αποτέλεσμα. Οι τρεις νόμοι δημοσιεύτηκαν στο βιβλίο Φυσική Φιλοσοφία με Μαθηματικές Αρχές(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica) το οποίο εκδόθηκε στις 5 Ιουλίου του 1687 στα λατινικά, και το 1729 στα αγγλικά. Με το πέρασμα των χρόνων, οι νόμοι αυτοί, έχουν εκφραστεί με διαφορετικούς τρόπους άλλα μπορούν να συνοψιστούν ως εξής:

1_ο Αξίωμα: Κάθε υλικό σημείο παραμένει σε κατάσταση ηρεμίας η ομαλής ευθύγραμμης κίνησης εκτός εάν εξαναγκαστεί από κάποια δύναμη να αλλάξει κατάσταση.
2_ο Αξίωμα: Η μεταβολή της ποσότητας της κίνησης ενός υλικού σημείου είναι ανάλογη της δύναμης που επιδρά και γίνεται κατά την διεύθυνση που επιδρά η δύναμη.
3_ο Αξίωμα: Όταν ένα σώμα ασκεί μια δύναμη σε ένα δεύτερο σώμα, τότε το δεύτερο σώμα ασκεί δύναμη ίσου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης στο πρώτο σώμα.

1] Πρώτο Αξίωμα

Όταν η μάζα του υλικού σημείου είναι μη μηδενική και σταθερή τότε το πρώτο αξίωμα του Νεύτωνα εκφραστεί μαθηματικά ως εξής: $\sum {\vec {F}}={\vec {0}}\Leftrightarrow {\frac {dv}{dt}}=0$ Συνεπώς, έχουμε δύο πιθανές περιπτώσεις:

Αν ισχύει ${\vec {v}}(t_{o})={\vec {0}}$ και δεν ασκείται καμία δύναμη στο σώμα, τότε αυτό θα παραμείνει ακίνητο.
Αν ισχύει ${\vec {v}}(t_{o})\neq {\vec {0}}={\vec {c}}$ και δεν ασκείται καμία δύναμη στο σώμα, τότε το σώμα θα εκτελέσει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

Ο Νεύτωνας διατύπωσε τον πρώτο νόμο για εισάγει την έννοια του συστήματος αναφοράς. Και μάλιστα, ο πρώτος νόμος διατυπώνει την ύπαρξη μιας ειδικής κατηγορίας συστημάτων αναφοράς που είναι τα Νευτώνεια ή τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς.

2] Δεύτερο Αξίωμα

Η ποσότητα της κίνησης η αλλιώς ορμή ενός σώματος είναι ένα διανυσματικό μέγεθος του οποίου η τιμή ισούται με το γινόμενο της μάζας ενός υλικού σημείου επί την ταχύτητα του. Σε διανυσματική μορφή: ${\vec {p}}=m{\vec {v}}\ \ (1)$ Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή: $\sum {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$ Μπορούμε όμως να συσχετίσουμε την δύναμη με την επιτάχυνση ενός υλικού σημείου. Εάν παραγωγίζουμε την διανυσματική εξίσωση (1) και ταυτόχρονα ισχύει ${\frac {d}{dt}}m(t)=0$ (Συνεπώς η μάζα του υλικού σημείου είναι ανεξάρτητη του χρόνου), τότε γίνεται: ${\frac {d}{dt}}{\vec {p}}(t)=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\Leftrightarrow \sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}\ \ (2)$

Όπου ${\vec {a}}={\vec {a}}(t)$ ,δηλαδή, η επιτάχυνση είναι συνάρτηση του χρόνου και $\sum {\vec {F}}=\sum {\vec {F}}({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}},t)$ , δηλαδή, η συνισταμένη δύναμη μπορεί να είναι συνάρτηση της ταχύτητας, της θέσης του υλικού σημείου ή απευθείας του χρόνου. Χαρακτηριστικά παραδείγματα εξάρτησης της δύναμης από την θέσης αποτελούν οι βαρυτικές και οι ηλεκτροστατικές δυνάμεις όπου η δύναμη F που ασκεί ένα υλικό σημείο \ σημειακό φορτίο σε ένα άλλο είναι της μορφής $|{\vec {F}}(r)|\propto {\frac {1}{r^{2}}}$ ή η δύναμη επαναφοράς στις αρμονικές ταλαντώσεις όπου ${\vec {F}}({\vec {x}})=-k{\vec {x}}$ . Ενώ, η δύναμη που δέχεται ένα υλικό σημείο κατα την διάρκεια της κίνησης του μέσα σε ένα ρευστό είναι της μορφής ${\vec {F}}\propto {\dot {\vec {x}}}$ . Η εξίσωση (2) είναι διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξης. Επομένως για να καταλήξουμε στην εξίσωση θέσης ${\vec {x}}(t)$ πρέπει να ξέρουμε το ${\vec {v}}(t_{o})$ και ${\vec {x}}(t_{o})$ (αρχικές συνθήκες)

ΣΗΜΕΙΩΣΗ ! Εύλογα κανείς μπορεί να ρωτήσει : Γιατί να έχουμε 2 νόμους , αφού θέτοντας στον 2ο a=0 καταλήγουμε στον 1ο νόμο ; Είναι ο 1ο νόμος , δηλαδή , υποπερίπτωση του 2ου; Η απάντηση είναι όχι . Ο πρώτος νόμος όπως αναφέρθηκε , εισάγει την έννοια του αδρανειακού συστήματος . Ο 2ος νόμος ισχύει μόνο για αδρανειακά συστήματα ( για μη αδρανειακά πρέπει να εισάγουμε μη νευτώνειες ή μη πραγματικές δυνάμεις όπως λέγονται). Άρα σε ένα σύστημα , δεν είναι δυνατόν να εφαρμόσουμε τον 2ο νόμο του Νεύτωνα , χωρίς να έχει επιβεβαιωθεί ο 1ος για αυτό ( το σύστημα ).

3] Τρίτο Αξίωμα

Ας υποθέσουμε ό,τι έχουμε ένα σώμα Α, το οποίο ασκεί μια δύναμη F₁ σε ένα σώμα Β. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, το σώμα Β θα ασκεί μια δύναμη ίσου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης με την F₁ στο σώμα Α. Επομένως, ισχύει η διανυσματική σχέση: ${\vec {F}}_{1}=-{\vec {F}}_{2}\ \ (3)$ Ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα δείχνει ό,τι όλες οι δυνάμεις στην φύση είναι αλληλεπιδράσεις μεταξύ δύο η περισσότερων σωμάτων, ή αλληλεπιδράσεις μεταξύ δυο περιοχών ενός σώματος.

Συνέπεια της σχέσης (3) είναι ό,τι όλες οι δυνάμεις έρχονται κατά ζεύγη και για τα διανύσματα των δυνάμεων ισχύει η σχέση: ${\vec {F}}_{12}+{\vec {F}}_{21}=0$ Όπου F₁₂ είναι η δύναμη που ασκεί ένα υλικό σημείο (1) σε ένα υλικό σημείο (2) και F₂₁ η δύναμη που ασκεί το (2) στο (1).

Παράδειγμα: Στην παρακάτω εικόνα το σύστημα των σωμάτων (1) και (2) βρίσκεται σε ισορροπία. Το σώμα (2) αλληλεπιδράει με την Γη (W₂ ). Το σώμα (2) βρίσκεται σε επαφή με το σώμα (1). Ως συνέπεια, θα υπάρχει μια δύναμη επαφής που θα ασκείται από το (1) στο (2), ετσι ώστε να ισχύει ΣF₂=0. Εφόσον ασκείται μια δύναμη από το σώμα (1) στο (2), λόγω του τρίτου νόμου του Νεύτωνα θα πρέπει να υπάρχει μια δύναμη που ασκεί το σώμα (2) στο (1), η οποία θα είναι ίση με το μέτρο της Ν₁₂ (δράση) και αντίθετη σε φορά (Ν_21, αντίδραση). Το σώμα (1) για να βρίσκεται σε ισορροπία πρέπει Ν₁ = -(W₁ + N₂₁).

(Λήμμα υπο διόρθωση\κατασκευή)