Ολοκληρώματα

Από Βικιεπιστήμιο
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Η έννοια του ολοκληρώματος[επεξεργασία]

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής σ' ένα διάστημα . Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν (Ε) της επιφάνειας που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = α και x = β.

Βήμα 1ο[επεξεργασία]

Επειδή η f είναι συνεχής στο [α,β] παρουσιάζει μια ελάχιστη (μ) και μια μέγιστη (Μ) τιμές, για τις οποίες ισχύουν:


Είναι φανερό ότι: , όπου και

Βήμα 2ο[επεξεργασία]

Έστω τώρα ένα σημείο . Επειδή η f είναι συνεχής στο [α,β] είναι συνεχής και στα υποδιαστήματα [α,x1] και [x1,β]. ΄Αρα, όπως στο «βήμα 1ο», η f παρουσιάζει ελάχιστες (μ1 και μ2) και μέγιστες (Μ1 και Μ2) τιμές στα υποδιαστήματα [α,x1] και [x1,β], για τα οποία ισχύουν:




Είναι φανερό ότι: , όπου και

Βήμα νιοστό[επεξεργασία]

Όμοια χωρίζουμε το διάστημα [α,β] σε ν ίσα κομμάτια:
[x0,x1], [x1,x2],... [xν-1,xν], όπου α = x0 < x1 <...< xν-1 < xν = β.

  • Η διαδικασία αυτή ονομάζεται «διαμέριση διαστήματος».