Ο νόμος του Γκάους

Ορίζουμε σαν ροή του ηλεκτρικού πεδίου το μονόμετρο μέγεθος Φ που ορίζεται από την σχέση $\Phi =\oint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{\epsilon _{0}}}$ όπου ${\vec {S}}{\vec {E}}S$ είναι το διάνυσμα της επιφάνειας, το διάνυσμα της έντασης του πεδίου και το εμβαδόν της επιφάνειας αντίστοιχα. Η παραπάνω σχέση είναι η μαθηματική διατύπωση του θεωρήματος του Gauss σύμφωνα με το οποίο: 'Η ροή που περνάει από κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογη του αλγεβρικού αθροίσματος των φορτίων που περικλείει η επιφάνεια'.

Αν η πυκνότητα των φορτίων $\rho$ είναι γνωστή σε κάθε σημείο του χώρου, τότε όπως είναι γνωστό το ολικό φορτίο του χώρου δίδεται από την σχέση $\sum {Q_{i}}=\int _{\Omega }\rho d\Omega$. Έτσι από τον νόμο του Gauss, προκύπτει $\oint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\int _{\Omega }\rho d\Omega$ η οποία μετασχηματίζεται στην διαφορική έκφραση του νόμου του Gauss: $\nabla \cdot {\vec {E}}={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho$ και ισχύει για κάθε σημείο του χώρου όπου η πυκνότητα φορτίων είναι ρ.