Ο τύπος του Διωνύμου και οι Διωνυμικοί Συντελεστές

Το παραγοντικό

Για $n\in \mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} -{\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}$ ορίζεται:

$n!=\prod _{i=1}^{n}i$.

Για n = 0 ορίζεται:

$0!=1$.

Ο τύπος του διωνύμου

Για $n\in \mathbb {N}$ είναι:

${\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{i!{\begin{pmatrix}n-i\end{pmatrix}}!}}\alpha ^{n-i}\beta ^{i}$

Διωνυμικοί συντελεστές

Για $n\in \mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} -{\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}$ και $\forall i\in {\begin{Bmatrix}1,2,3...n\end{Bmatrix}}\subset \mathbb {N} ^{*}$ ορίζονται οι διωνυμικοί συντελεστές ως εξής:

${n \choose i}={\frac {n!}{i!{\begin{pmatrix}n-i\end{pmatrix}}!}}={n \choose n-i}$

Ακόμη ορίζεται:

${n \choose 0}=1$ και ${\binom {n}{1}}=n$

Ιδιότητες των διωνυμικών συντελεστών

${n \choose i}+{n \choose i+1}={n+1 \choose i+1}$

• Η σχέση δίνει το τρίγωνο του Pascal.

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}$

$\sum _{i=0}^{n}{\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix}}^{i}{n \choose i}=0$

$\sum _{i=0}^{m}{n+i \choose n}={n+m+1 \choose n+1},\;m\in \mathbb {N}$

$\sum _{i=0}^{k}{n \choose 2i}=2^{n-1},\;k={\begin{bmatrix}{\frac {n}{2}}\end{bmatrix}}$

$\sum _{i=0}^{k}{n \choose 2i+1}=2^{n-1},\;k={\begin{bmatrix}{\frac {n-1}{2}}\end{bmatrix}}$

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}$

$\sum _{i=0}^{p}{m \choose i}{n \choose p-i}={m+n \choose p},\;m\in \mathbb {N} ,\;p\leq min{\begin{Bmatrix}m,n\end{Bmatrix}}\wedge p\in \mathbb {N}$

$\sum _{i=1}^{n}i{n \choose i}=n2^{n-1}$

$\sum _{i=1}^{n}{\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix}}^{i+1}i{n \choose i}=0$

Επέκταση για δυνάμεις πολυωνύμων

${\begin{pmatrix}{\begin{matrix}p\\\sum \\i=1\end{matrix}}\alpha _{i}\end{pmatrix}}^{n}=\sum _{i=1}^{p}{\frac {n!}{{\begin{matrix}p\\\prod \\i=1\end{matrix}}n_{i}!}}\prod _{i=1}^{p}\alpha _{i}^{n_{i}},\;p\in \mathbb {N} ^{*},\;n_{i}\in \mathbb {N} ^{*}\wedge \sum _{i=1}^{p}n_{i}=n$

• (Συνεχίζεται...)
• Επιστροφή στο Τμήμα Μαθηματικών