Παραδείγματα εφαρμογής του νόμου του Raoult

1. 5 g ουρίας διαλύονται σε 100 g νερού στους 70^o C. Να βρεθεί η τάση ατμών του διαλύματος, αν η τάση ατμών του νερού στους 70^o C είναι 233,3 mmHg.

Οργάνωση δεδομένων:

m = 5 g. Ο χημικός τύπος της ουρίας είναι: Η₂NCONH₂. Δηλαδή το μοριακό της βάρος είναι: $M\simeq 12+14\cdot 2+16+1\cdot 4=60\;g/mole$ . m₀=100 g. $M_{0}\simeq 1\cdot 2+16=18\;g/mole.$ . P₀ = 233,3 mmHg.

Λύση:

Από το Νόμο του Raoult έχουμε:

${\frac {P}{P_{0}}}={\frac {N}{n+N}}\Leftrightarrow P={\frac {N}{n+N}}P_{0}={\frac {\frac {m_{0}}{M_{0}}}{{\frac {m_{0}}{M_{0}}}+{\frac {m}{M}}}}P_{0}={\frac {\frac {100}{18}}{{\frac {100}{18}}+{\frac {5}{60}}}}233,3=229,9\;mmHg$

Αν χρησιμοποιήσουμε τον απλοποιημένο νόμο Raoult παίρνουμε:

${\begin{pmatrix}\Delta P\end{pmatrix}}_{\sigma \chi }={\frac {n}{N}}\Leftrightarrow {\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}={\frac {n}{N}}\Leftrightarrow 1-{\frac {P}{P_{0}}}={\frac {n}{N}}\Leftrightarrow -{\frac {P}{P_{0}}}={\frac {n}{N}}-1\Leftrightarrow {\frac {P}{P_{0}}}=1-{\frac {n}{N}}\Leftrightarrow P={\begin{pmatrix}1-{\frac {n}{N}}\end{pmatrix}}P_{0}={\begin{pmatrix}1-{\frac {\frac {m}{M}}{\frac {m_{0}}{M_{0}}}}\end{pmatrix}}P_{0}={\begin{pmatrix}1-{\frac {\frac {5}{60}}{\frac {100}{18}}}\end{pmatrix}}233,3=229,8\;mmHg$

Παρατηρούμε ότι: $229,9\;mmHg\simeq 229,8\;mmHg$ . Δηλαδή η διαφορά είναι ελάχιστη, ενώ με τον απλοποιημένο τύπο είχαμε απλούστερους αριθμητικούς υπολογισμούς.

2. Αν διαλυθούν 106,3 g από μη ηλεκτρολυτική άγνωστη ένωση (Χ) σε 863,5 g βενζολίου η τάση ατμών του τελευταίου μειώνεται από 98,6 σε 86,7 mmHg. Να βρεθεί το μοριακό βάρος της άγνωστης ένωσης.

Οργάνωση δεδομένων:

m = 106,3 g. P₀ = 98,6 mmHg, P = 86,7 mmHg. Ο χημικός τύπος του βενζολίου είναι: C₆H₆. Άρα: $M_{0}\simeq 6\cdot 12+6\cdot 1=78\;g/mole$ .

Λύση:

Από το Νόμο του Raoult έχουμε:

${\frac {P}{P_{0}}}={\frac {N}{n+N}}\Leftrightarrow P{\begin{pmatrix}n+N\end{pmatrix}}=P_{0}N\Leftrightarrow Pn+PN=P_{0}N\Leftrightarrow Pn=P_{0}N-PN\Leftrightarrow n={\frac {P_{0}-P}{P}}N\Leftrightarrow {\frac {m}{M}}={\frac {P_{0}-P}{P}}{\frac {m_{0}}{M_{o}}}\Leftrightarrow$

${\frac {M}{m}}={\frac {m}{M}}={\frac {P}{P_{0}-P}}{\frac {M_{o}}{m_{0}}}\Leftrightarrow M={\frac {P}{P_{0}-P}}{\frac {m}{m_{0}}}M_{0}={\frac {86,7}{98,6-86,7}}{\frac {106,3}{863,5}}78\simeq 70$ .

Αν τώρα στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιήσουμε τον απλουστευμένο τύπο θα έχουμε:

${\begin{pmatrix}\Delta P\end{pmatrix}}_{\sigma \chi }={\frac {n}{N}}\Leftrightarrow {\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}={\frac {n}{N}}\Leftrightarrow n={\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}N\Leftrightarrow {\frac {m}{M}}={\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}{\frac {m_{0}}{M_{0}}}\Leftrightarrow {\frac {M}{m}}={\frac {P_{0}}{P_{0}-P}}{\frac {M_{0}}{m_{0}}}\Leftrightarrow$

$M={\frac {M}{m}}={\frac {P_{0}}{P_{0}-P}}{\frac {m}{m_{0}}}{M_{0}}={\frac {98,6}{98,6-86,7}}{\frac {106,3}{863,5}}78\simeq 80$ .

Παρατηρούμε ότι η διαφορά από την τιμή του κανονικού τύπου (70) είναι μεγάλη. Αυτό συμβαίνει επειδή το διάλυμα δεν είναι αραιό.

3. Μια σταγόνα νερού όγκου 0,050 ml εισέρχεται σε κενό (τελείως) δοχείο όγκου 1 lt. Η θερμοκρασία διατηρείται σταθερή στους 27^o C, όπου η πυκνότητα του νερού είναι 0,9965 g/ml και η τάση ατμών του 26,7 mmHg. Να βρεθεί πόσο νερό θα μείνει υγρό.

Παρατήρηση:

Στο παράδειγμα αυτό έχουμε καθαρό υγρό (νερό) και όχι διάλυμα και άρα δεν εφαρμόζεται ο τύπος του Raoult. Αποτελεί όμως χρήσιμη υπενθύμιση άλλων σημαντικών τύπων της Φυσικοχημείας, που θεωρούνται γνωστοί στον επίπεδο της Γ' Λυκείου.

Οργάνωση δεδομένων:

V_υ0 = 0,050 ml. V = 1 lt. T = 27^o $\simeq$ 300 K. d = 0,9965 g/ml. $P=26,7\;mmHg={\frac {26,7}{760}}\;atm\simeq 0,035\;atm$ . Θα μας χρειαστούν ακόμη: α) Το μοριακό βάρος του νερού: $M\simeq 1\cdot 2+16=18\;g/mole.$ και β) η παγκόσμια σταθερά των αερίων: $R\simeq 0,082\;{\frac {litatm}{moleK}}$ .

Λύση:

Για την αρχική κατάσταση:

Επειδή εξ ορισμού της πυκνότητας: $d={\frac {m}{V}}$ , έχουμε στην περίπτωσή μας:

$d={\frac {m_{\upsilon 0}}{V_{\upsilon 0}}}\Leftrightarrow m_{\upsilon 0}=dV_{\upsilon 0}=0,9965\cdot 0,050\simeq 0,0498\;g$

Επίσης εξ ορισμού έχουμε: $n={\frac {m}{M}}$ . Δηλαδή στην περίπτωσή μας:

$n_{\upsilon 0}={\frac {m_{\upsilon 0}}{M}}\simeq {\frac {0,049825}{18}}\simeq 2,768\cdot 10^{-3}\;mole$ .

Για την αέρια κατάσταση, δηλαδή για τους ατμούς της σταγόνας που σχηματίστηκαν στο κενό δοχείο.

Από την Καταστατική εξίσωση των αερίων έχουμε:

$PV=nRT\Leftrightarrow n={\frac {PV}{RT}}\simeq {\frac {0,035\cdot 1}{0,082\cdot 300}}\simeq 1,423\cdot 10^{-3}\;mole$

Οπότε, για την υγρή κατάσταση, της σταγόνας που δεν εξατμίστηκε, έχουμε:

$n_{\upsilon }=n_{\upsilon 0}-n\simeq 2,768\cdot 10^{-3}-1,423\cdot 10^{-3}=1,345\cdot 10^{-3}\;mole$ .

Οπότε έχουμε:

$n_{\upsilon }={\frac {m_{\upsilon }}{M}}\Leftrightarrow m=n_{\upsilon }M\simeq 1,345\cdot 10^{-3}\cdot 18\simeq 0,0242\;g$ .

Αν θέλουμε να βρούμε την ποσότητα αυτή και σε όγκο, έχουμε:

$d={\frac {m_{\upsilon }}{V_{\upsilon }}}\Leftrightarrow V_{\upsilon }={\frac {m_{\upsilon }}{d}}\simeq {\frac {0,0242}{0,9965}}\simeq 0,0243\;ml$ .

4. Να βρεθεί η τάση ατμών διαλύματος 43,68 g ζάχαρης ας 245 ml νερού στους 25^οC. Στη θερμοκρασία αυτή το νερό έχει πυκνότητα 0,9971 g/ml και η τάση ατμών του είναι 23,756 mmHg.

Οργάνωση δεδομένων:

m = 43,68 g. V₀ = 245 ml. d₀=0,9971 g/ml. P₀=23,756 mmHg. Όσο για τα ΜΒ των ουσιών: Η ζάχαρη έχσει χημικό τύπο C₁₂H₂₂O₁₁. Οπότε: $M\simeq 12\cdot 12+22\cdot 1+11\cdot 16=342\;g/mole$ . Και για το νερό: $M_{0}\simeq 1\cdot 2+16=18\;g/mole.$

Λύση:

Από τον ορισμό της πυκνότητας παίρνουμε:

$d_{0}={\frac {m_{0}}{V_{0}}}\Leftrightarrow m_{0}=d_{0}V_{)}=0,9971\cdot 245\simeq 244,29\;g.$

$N={\frac {m_{0}}{M_{0}}}\simeq {\frac {244,29}{18}}\simeq 13,57\;mole.$

$n={\frac {m}{M}}\simeq {\frac {43,68}{342}}\simeq 0,13\;mole.$

Τώρα είναι φανερό ότι N >> n και επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον απλουστευμένο τύπο Raoult, χωρίς σημαντική απώλεια ακρίβειας:

${\begin{pmatrix}\Delta P\end{pmatrix}}_{\sigma \chi }={\frac {n}{N}}\Leftrightarrow {\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}={\frac {n}{N}}\Leftrightarrow P_{0}-P={\frac {n}{N}}P_{0}\Leftrightarrow -P={\frac {n}{N}}P_{0}-P_{0}\Leftrightarrow$

$P={\begin{pmatrix}1-{\frac {n}{N}}\end{pmatrix}}P_{0}\simeq {\begin{pmatrix}1-{\frac {0,13}{13,57}}\end{pmatrix}}\cdot 23,756\simeq {\begin{pmatrix}1-9,58\cdot 10^{-3}\end{pmatrix}}\cdot 23,756\simeq 0,99\cdot 23,756\simeq 23,518\;mmHg.$

5. Να υπολογισθεί η τάση ατμών υδατικού διαλύματος γλυκόζης περιεκτικότητας 10% κ.β. στους 30^o C. Η τάση ατμών του νερού στη θερμοκρασία αυτή είναι 31,8 mmHg.

Οργάνωση δεδομένων:

$c\%={\frac {m}{m_{0}}}=10\%=0,1.$ . P₀ = 31,8 mmHg. Η γλυκόζη έχει χημικό τύπο: C₆H₁₂O₆. Επομένως: $M\simeq 6\cdot 12+12\cdot 1+6\cdot 16=180.$ . Και τέλος $M_{0}\simeq 1\cdot 2+16=18\;g/mole.$

Λύση:

Το διάλυμα είναι αρκετά αραιό και επομένως εφαρμόζουμε τον απλοποιημένο τύπο Raoult:

${\begin{pmatrix}\Delta P\end{pmatrix}}_{\sigma \chi }={\frac {n}{N}}\Leftrightarrow {\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}={\frac {n}{N}}\Leftrightarrow P_{0}-P={\frac {n}{N}}P_{0}\Leftrightarrow -P={\frac {n}{N}}P_{0}-P_{0}\Leftrightarrow$

$P={\begin{pmatrix}1-{\frac {n}{N}}\end{pmatrix}}P_{0}={\begin{pmatrix}1-{\frac {\frac {m}{M}}{\frac {m_{0}}{M_{0}}}}\end{pmatrix}}P_{0}={\begin{pmatrix}1-{\frac {M_{0}c\%}{M}}\end{pmatrix}}P_{0}\simeq {\begin{pmatrix}1-{\frac {18\cdot 0,1}{180}}\end{pmatrix}}31,8={\begin{pmatrix}1-0,01\end{pmatrix}}\cdot 31,8=0,99\cdot 31,8\simeq 31,5\;mmHg.$

6. Όταν διαλυθούν 2,182 g μιας μη ηλεκτρλυτικής ένωσης σε 100 g τετραχλωράνθρακα η τάση ατμών του μειώνεται από 85,513 mmHg σε 83,932 mmHg. Να υπολογισθεί το μοριακό βάρος της ένωσης.

Οργάνωση δεδομένων:

m = 2,182 g. m₀ = 100 g. P₀ = 85,513 mmHg. P = 83,932 mmHg. Ο τετραχλωράνθρακας έχει χσημικό τύπο CCl₄. Αρα: $M_{0}\simeq 12+4\cdot 35,5=154\;g/mole.$

Λύση:

Χωρίς να ξέρουμε το ΜΒ της διαλυμένης ουσίας δεν είμαστε σίγουροι για το πόσο αραιό είναι το διάλυμα. Άρα, κλύτερα να χρησιμοποιήσουμε τον κανονικό τύπο Raoult:

${\begin{pmatrix}\Delta P\end{pmatrix}}_{\sigma \chi }={\frac {n}{N+n}}\Leftrightarrow {\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}={\frac {n}{N+n}}\Leftrightarrow n={\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}{\begin{pmatrix}N+n\end{pmatrix}}={\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}N+{\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}n\Leftrightarrow n-{\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}n={\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}N\Leftrightarrow$

${\begin{pmatrix}1-{\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}\end{pmatrix}}n={\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}N\Leftrightarrow n={\frac {{\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}N}{1-{\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}}}={\frac {{\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}{\frac {m_{0}}{M_{0}}}}{1-{\frac {P_{0}-P}{P_{0}}}}}\simeq {\frac {{\frac {85,513-83,932}{85,513}}{\frac {100}{154}}}{1-{\frac {85,513-83,932}{85,513}}}}={\frac {{\frac {1,581}{85,513}}{\frac {100}{154}}}{1-{\frac {1,581}{85,513}}}}\simeq {\frac {0,0185\cdot 0,65}{1-0,0185}}={\frac {0,012025}{0,9815}}\simeq 0,01225\;mole.$

Οπότε:

$n={\frac {m}{M}}\Leftrightarrow M={\frac {m}{n}}\simeq {\frac {2,182}{0,01225}}\simeq 178\;g/mole.$