Προβλήματα ηλεκτρομαγνητισμού

1. Τα πρωτόνια των κοσμικών ακτίνων που πέφτουν στη γήινη ατμόσφαιρα αντιστοιχούν σε 0,15/cm²s. Ποια η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος που δέχεται η Γη από τα πρωτόνια των κοσμικών ακτίνων; Δίνεται η ακτίνα της Γης: 6,4·10⁶ m.

Οργάνωση δεδομένων:

${\frac {\nu }{St}}=0,15/cm^{2}s=1500/m^{2}s$ , όπου ν: αριθμός πρωτονίων. $r=6,4\cdot 10^{6}\;m.$

Λύση:

${\frac {q}{St}}={\frac {\nu {\begin{vmatrix}q_{e}\end{vmatrix}}}{St}}={\begin{vmatrix}q_{e}\end{vmatrix}}{\frac {\nu }{St}}=1,60210\cdot 10^{-19}\cdot 1500\;Cb/m^{2}s\simeq 2,240315\cdot 10^{-16}\;Cb/m^{2}s$ .

Για το S έχουμε εμβαδό επιφάνειας σφαίρας. Άρα:

$S=4\pi r^{2}\simeq 4\cdot 3,14159\cdot {\begin{pmatrix}6,4\cdot 10^{6}\end{pmatrix}}^{2}\simeq 5,14719\cdot 10^{14}\;m^{2}.$

Οπότε τελικά έχουμε:

$I={\frac {q}{t}}=S{\frac {q}{St}}\simeq 5,14719\cdot 10^{14}\cdot 2,240315\cdot 10^{-16}\simeq 0,123695\;A.$

2. Σημειακό ηλεκτρικό φορτίο +3,0·10^-6 Cb απέχει 12 cm από ένα άλλο -1,5·10^-6 Cb. Υπολογίστε το μέτρο και τη φορά της δύναμης που ασκείται πάνω σε κάθε φορτίο.

Οργάνωση δεδομένων:

q₁ = +3,0·10^-6 Cb. q₂ = -1,5·10^-6 Cb. r = 12 cm = 0,12 m.

Λύση:

$F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\simeq 9\cdot 10^{9}{\frac {3\cdot 10^{-6}\cdot {\begin{pmatrix}-1,5\cdot 10^{-6}\end{pmatrix}}}{0,12^{2}}}\;N=-2,8125\;N$

Το "-" στο πρόσημο της δύναμης φανερώνει την έλξη. Άρα, αν το φορτίο q₁ βρίσκεται αριστερά και το q₂ δεξιά, έχουμε αντίστοιχα:
$F_{1}=-F=2,8125\;N$
$F_{2}=F=-2,8125\;N$ .

3. Δυο όμοιες σφαίρες μάζας m, κρέμονται από μεταξωτά νήματα και έχουν το ίδιο ηλεκτρικό φορτίο q. Υποθέστε ότι $\epsilon \phi \theta \simeq \eta \mu \theta$ . α) Δείξτε ότι ισχύει η σχέση: $x={\sqrt[{3}]{\frac {q^{2}l}{2\pi \epsilon _{0}mg}}}$ . β) Αν l = 120 cm, m = 10 gr και x = 5 cm, πόσο είναι το q;

Οργάνωση δεδομένων:

β) l = 120 cm, m = 10 gr, x = 5 cm.

Λύση:

α)

Σε κάθε μάζα m ασκούνται οι ακόλουθες δυνάμεις:

Η απωστική δύναμη Coulomb, F_C, στη διεύθυνση x: $F_{C}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{e}^{2}}{x^{2}}}$ .
Το βάρος της, W, στη διεύθυνση $y\bot x$ : $W=mg$ .
Η τάση του νήμαυος, T, στη διεύθυνση του νήματος, δηλαδή θ γωνία από τη διεύθυνση $y\bot x$ . Αφού οι σφαίρες είναι ακίνητες, η τάση εξουδετερώνει τη συνισταμένη των άλλων δυνάμεων. Αναλύοντάς την στους δυο άξονες έχουμε: $T<sub>x</sub>=-F_{C}$ και $T<sub>y</sub>=-W$ . Οπότε:

$T={\sqrt {T_{x}^{2}+T_{y}^{2}}}={\sqrt {{\begin{pmatrix}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{e}^{2}}{x^{2}}}\end{pmatrix}}^{2}+{\begin{pmatrix}mg\end{pmatrix}}^{2}}}$