Σημεία, ευθείες, επίπεδα

Στη γεωμετρία τα πάντα περιγράφονται ως σχέσεις μεταξύ σημείων, ευθειών και επιπέδων. Η περιγραφή των τριών αυτών στοιχείων μέσω διανυσμάτων επιτρέπει να επεξεργαστούμε οποιοδήποτε σχήμα μέσω σχέσων διανυσμάτων οι οποίες όπως ορίστηκαν είναι πλέον αλγεβρικές. Αυτός εξ' άλλου ο λόγος ύπαρξης της αναλυτικής γεωμετρίας, η περιγραφή της γεωμετρίας με αλγεβρικές σχέσεις. Παρακάτω θα εννοείται η ευκλείδια γεωμετρία χωρίς να τονίζεται, ενώ θα χρησιμοποιείται το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, εκτός αν αναφέρεται κάτι άλλο.

Προσδιορισμός σημείου

Κάθε σημείο του χώρου αντιστοιχεί σε ένα διάνυσμα με αρχή το σημείο αναφοράς και πέρας το ίδιο το σημείο.

Διάνυσμα θέσης ενός σημείου P ονομάζεται το διάνυσμα με αρχή το σημείο αναφοράς και πέρας το ίδιο το σημείο και συμβολίζεται με ${\vec {P}}$.

Με αυτόν τον ορισμό εξ' ορισμού του διανύσματος κάθε σημείο αντιστοιχεί ακριβώς σε ένα διάνυσμα θέσης.

Αν σε ένα συγκεκριμένο σχήμα προσδιορίσουμε ένα χαρακτηριστικό σημείο θέσης, τότε το διάνυσμα θέσης αυτού του σημείου είναι και το διάνυσμα θέσης του σχήματος.

Με βάση τα παραπάνω η θέση ενός οποιουδήποτε σχήματος προσδιορίζεται επακριβώς από ένα σύστημα συντεταγμένων.

Ισχύει ότι ${\vec {AB}}={\vec {B}}-{\vec {A}}$

Άσκηση: Αποδείξτε την παραπάνω ιδιότητα
σχήμα	Λύση
	${\vec {A}}+{\vec {AB}}={\vec {B}}\Leftrightarrow {\vec {AB}}={\vec {B}}-{\vec {A}}$

Ελεύθερο σχήμα

Η περιγραφή των ιδιοτήτων κάθε σχήματος στην αναλυτική γεωμετρία μπορεί να περιλαμβάνει ή όχι τον προσδιορισμό της θέσης του. Γνωρίζουμε ήδη για το ελεύθερο διάνυσμα. Επιπλέον, η διεύθυνση είναι μια ελεύθερη ευθεία, αφού αν προσδιορίσουμε οποιαδήποτε θέση αυτόματα προκύπτει μια ευθεία. Γενικεύουμε, λοιπόν για οποιοδήποτε σχήμα:

Ελεύθερο σχήμα ονομάζεται το σχήμα το οποίο έχει όλα τα χαρακτηριστικά του αντίστοιχου σχήματος εκτός της θέσης.

Το ελεύθερο σχήμα μπορεί να θεωρηθεί ως σύνολο όλων των αντίστοιχων σχημάτων σε όλες τις θέσεις. Αν με οποιοδήποτε τρόπο προσδιοριστεί η θέση κάποιου χαρακτηριστικού αυτόματα όλο το σχήμα εφαρμόζεται σε κάποια θέση. Κάποια διανύσματα που περιγράφουν ένα ελεύθερο σχήμα και συμμετέχουν στην αλγεβρική του περιγραφή είναι αναγκαστικά ελεύθερα. Αν υπάρχουν και εφαρμοστά διανύσματα στην περιγραφή ελεύθερου σχήματος, τότε αυτό δεν είναι ελεύθερο ή η αρχή τους είναι κάποιο σημείο του ίδιο του σχήματος.

Αν θεωρήσουμε τα ελεύθερα διανύσματα εφαρμοστά, τότε αυτόματα το σχήμα εφαρμόζεται στο σημείο αναφοράς, γιατί το διάνυσμα θέσης σε αυτή την περίπτωση είναι το ${\vec {0}}$.

Προσδιορισμός ευθείας

Ο προσδιορισμός της ευθείας μπορεί να γίνει είται με προσδιορισμό δύο σημείων της, όπως στην ευκλείδια γεωμετρία, ή με προσδιορισμό της διεύθυνσή της και ένα σημείο.

• Προσδιορισμός με ζεύγος σημείων

Έστω δύο διανύσματα θέσης σημείων μιας ευθείας ${\vec {A}},{\vec {B}}$, τότε ένα τυχαίο σημείο P του χώρου ανήκει στην ευθεία αν και μόνο αν το διάνυσμα ${\vec {AP}}$ είναι συνευθειακό με το ${\vec {AB}}$. Με εφαρμογή της συνθήκης παραλληλίας έχω:

${\vec {AP}}\times {\vec {AB}}={\vec {0}}\Leftrightarrow ({\vec {P}}-{\vec {A}})\times {\vec {AB}}={\vec {0}}$ η εξίσωση της ευθείας ΑΒ

• Προσδιορισμός με σημείο και διεύθυνση

Η κατεύθυνση θα προσδιορίζεται από ένα διάνυσμα, έστω ${\vec {\delta }}$. Ανεξάρτητα το μέτρο του μπορούμε να το αντικαταστήσουμε στην παραπάνω εξίσωση με τον όρο ${\vec {AB}}$:

$({\vec {P}}-{\vec {A}})\times {\vec {\delta }}={\vec {0}}$ εξίσωση της ευθείας με κατεύθυνση ${\vec {\delta }}$ που διέρχεται από το σημείο Α

Ο δεύτερος τρόπος είναι ιδιαίτερα χρήσιμος όταν μπορούμε να υπολογίσουμε ένα τυχαίο διάνυσμα, ακόμα και ελεύθερο, που έχει τη διεύθυνσή της.

Ελεύθερη ευθεία

Η ελεύθερη ευθεία είναι ουσιαστικά μια διεύθυνση και περιγράφεται πλήρως από ένα και μόνο συνευθειακό διάνυσμα.

Προσδιορισμός επιπέδου

Ο προσδιορισμός του επιπέδου για να γίνει χρειάζεται τουλάχιστον τρία σημεία, μια ευθεία και ένα σημείο εκτός ευθείας, δύο ευθείες τεμνόμενες ή παράλληλες, ή άλλα ισοδύναμα στοιχεία (από τα οποία μπορεί να προκύψει κάτι από τρία προηγούμενα). Σε κάθε περίπτωση ο προσδιορισμός ενός επιπέδου στηρίζεται στην ευκλείδια ιδιότητα κάθε επιπέδου να είναι κάθετο σε μία συγκεκριμένη διεύθυνση.

• Προσδιορισμός με δύο ευθείες

Έστω ότι γνωρίζουμε δύο συνεπίπεδες ευθείες, για την ακρίβεια ένα σημείο ${\vec {A}}$ της μίας και δύο διανύσματα ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}$αντιπροσωπευτικά των διευθύνσεών τους. Αρκεί να βρεθεί διάνυσμα που να είναι κάθετο στο επίπεδο, αξιοποιώντας το γνωστό σημείο ορίστηκε το επίπεδο. Το διάνυσμα αυτό είναι το ${\vec {\gamma }}={\vec {\alpha }}\times {\vec {\beta }}$.

Άσκηση: Αποδείξτε ότι το διάνυσμα ${\vec {\alpha }}\times {\vec {\beta }}$ είναι κάθετο στο επίπεδο
λύση
Έστω ${\vec {\gamma }}$ ένα κάθετο στο επίπεδο διάνυσμα. Ισχύει: ${\vec {0}}=0{\vec {\alpha }}-0{\vec {\beta }}=({\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\beta }}){\vec {\alpha }}-({\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\alpha }}){\vec {\beta }}={\vec {\gamma }}\times ({\vec {\alpha }}\times {\vec {\beta }})\Leftrightarrow$ το διάνυσμα ${\vec {\alpha }}\times {\vec {\beta }}$ είναι παράλληλο στο ${\vec {\gamma }}$, άρα κάθετο στο επίπεδο.

Αν P τυχαίο σημείο του επιπέδου, τότε ισχύει: $({\vec {P}}-{\vec {A}})\cdot ({\vec {\alpha }}\times {\vec {\beta }})=0$

• Προσδιορισμός με τρία σημεία

Έστω τα τρία σημεία τα A, B, C. Τότε θέτωντας ${\vec {\alpha }}={\vec {A}}-{\vec {B}},{\vec {\beta }}={\vec {A}}-{\vec {C}}$ προκύπτει η προηγούμενη περίπτωση.

• Προσδιορισμός με ευθεία και ένα σημείο

Με ένα τυχαίο σημείο της ευθείας προσδιορίζω παρομοίως με προηγουμένως ένα διάνυσμα και έπειτα προκύπτει η πρώτη περίπτωση.

Ελεύθερο επίπεδο

Ευθύγραμμο κύμα με κατεύθυνση. Τί σχέση έχει το μέτωπο του κύματος με το ελεύθερο επίπεδο;

Κάθε ελεύθερο επίπεδο αντιστοιχεί σε μια διεύθυνση, άρα προσδιορίζεται πλήρως από ένα διάνυσμα που είναι κάθετο στο επίπεδο.

Ασκήσεις

Ερωτήσεις κατανόησης

• Το σύστημα συντεταγμέων μπορεί να προσδιορίσει σημεία; Με ποιόν τρόπο;
• Μπορεί να γίνει περιγραφή ελεύθερων διανυσμάτων με συντεταγμένες; Με ποιόν τρόπο;
• Ποιά η γεωμετρική ερμηνεία του εσωτερικού και του εξωτερικού γινομένου; Πώς χρησιμοποιήθηκαν για την αλγεβρική περιγραφή του επιπέδου και της ευθείας;
• Έστω μία τακτοποιημένη στοίβα από βιβλία. Οι σελίδες των βιβλίων προσεγγίζει το ελεύθερο επίπεδο; και αν ναι ποιά είναι η διεύθυνση;

Αποδεικτικές

• Επιβεβαιώστε τα αξιώματα της ευκλείδιας γεωμετρίας.
• Αποδείξτε ότι η εξίσωση των συντεταγμένων που περιγράφουν επίπεδο είναι οι Αx+By+Γz=0.
  • Ποιά η σχέση της εξίσωσης αυτής με τις συντεταγμένες ενός κάθετου διανύσματος στο επίπεδο;
  • Υπάρχουν άπειρες τέτοιες εξισώσεις; Γιατί και πώς μπορούν να βρεθούν;
  • Υπό ποιές προϋποθέσεις αυτή η εξίσωση περιγράφει επίπεδο;
• Ποιά εξίσωση συντεταγμένων περιγράφει ευθεία;

Ερευνητικά θέματα

• Θα περιγράφατε επίπεδο σε σφαιρικές συντεταγμένες;
  • Ποιά επιφάνεια είναι αντίστοιχα κατάλληλη στις σφαιρικές συντεταγμένες;