Συνδυαστική
Συνδυαστική είναι ο κλάδος της αριθμητικής που ασχολείται με μέτρηση όλων των δυνατών περιπτώσεων συνδυασμού με βάση κάποιο κανόνα ενός συνόλου.
Έστω ένα σύνολο στοιχείων Α, το οποίο έχει ν στοιχεία. Έστω ένας δοσμένος αριθμός κ και μια τυχαία κ-άδα (α1,α2,...,ακ). Έστω το σύνολο Α' των κ-άδων για τους οποίους ισχύει η πρόταση Π. Η συνδυαστική ασχολείται με την εύρεση του πλήθους των στοιχείων του Α', όταν η πρόταση Π αναφέρεται σε διάταξη μεταξύ των στοιχείων του Α. Αυτό γίνεται σε συνδυασμό με κάποια διαγράμματα που ονομάζονται δέντρα.
Βασικός κανόνας απαρίθμησης:
Έστω ότι υπάρχουν κ περιπτώσεις, όπου η πρώτη περίπτωση έχει λ1 υποπεριπτώσεις, η δεύτερη λ2 υποπεριπτώσεις,...,η κ-οστή λκ υποπεριπτώσεις. Τότε το σύνολο όλων των περιπτώσεων είναι
Κανόνας γινομένου:
Έστω ότι μια κ-άδα (α1,α2,...,ακ), όπου υπάρχουν λ1 περιπτώσεις για το α1, λ2 περιπτώσεις για το α2,...,λκ περιπτώσεις για το ακ. έστω επιπλέον, ότι η κάθε περίπτωση είναι εντελώς ανεξάρτητη από τις υπόλοιπες. Τότε υπάρχουν συνολικά: συνολικές περιπτώσεις κ-άδων.
Τύποι της Συνδιαστικής
[επεξεργασία]- Μεταθέσεις των ν στοιχείων:
- Διατάξεις των μ στοιχείων σε ν θέσεις (χωρίς επανάληψη):
- Διατάξεις των μ στοιχείων σε ν θέσεις (με επανάληψη):
- Συνδυασμοί των ν στοιχείων ανά μ:
Ερωτήσεις
[επεξεργασία]Εμπέδωσης
[επεξεργασία]- Τι σχέση έχουν οι ιδιότητες της βασικής αρχής απαρίθμησης με τις ιδιότητες της πρόσθεσης;
- Αν στο βασικό κανόνα απαρίθμησης ο αριθμός των υποπεριπτώσεων κάθε περίπτωσης είναι λ τι μπορούμε να συμπεράνουμε;
- Τι σχέση έχει η βασική αρχή απαρίθμησης με τον κανόνα του γινομένου;
- Τι σχέση έχουν οι ιδιότητες του κανόνα του γινομένου με τις ιδιότητες του γινομένου;
- Αν στον κανόνα του γινομένου ο αριθμός των περιπτώσεων σε κάθε αμ είναι λ τι μπορούμε να συμπεράνουμε;
- Τι σχέση υπάρχει μεταξύ του κανόνα του γινομένου με τον κανόνα που ανακαλύψατε στο παραπάνω ερώτημα και ποιες είναι οι διαφορές του με τους δύο προηγούμενους κανόνες;
Αποδεικτικές
[επεξεργασία]Έστω Α σύνολο κ στοιχείων και Β το σύνολο των λ-άδων των στοιχείων του, όπου λ<κ.
- Ποιος είναι ο αριθμός των στοιχείων του Β;
- Αν στο παραπάνω πρόβλημα θέσουμε λ=κ τι προκύπτει;
- Ποιος τύπος ισχύει αν μας ενδιαφέρει η διάταξη των στοιχείων στην κ-άδα και ποιος αν δεν μας ενδιαφέρει;
- Τι μπορούμε να συμπεράνουμε, αν δε μας ενδιαφέρει η θέση των στοιχείων στην κ-άδα; Ποια σχέση ή πράξη το περιγράφει και ποιες οι ιδιότητές της;
Ερευνητικές
[επεξεργασία]- Βρείτε εφαρμογές των τύπων που ανακαλύψατε. Ποια ή ποιες επιστήμες χρησιμοποιούν τη συνδυαστική;
- Με ποια γεωμετρική σχέση μοιάζει ο κανόνας του γινομένου για κ=2; Τι μπορούμε να συμπεράνουμε από αυτό;
- Τι σχέση έχει η συνδυαστική με το δυναμοσύνολο;