Σύνολο και μεταβλητή

Η έννοια του συνόλου

Στα Μαθηματικά η έννοια του συνόλου (συλλογής) είναι θεμελιακή (γίνεται δηλαδή αξιωματικά δεκτή για να χρησιμεύσει σαν αρχική έννοια ώστε να χτιστούν πάνω τις άλλες που αναφέρονται σ' αυτήν). Είναι μάλιστα μια από τις πιο θεμελιακές, αφού υπεισέρχεται (ουσιαστικά) σε όλους τους Κλάδους των Μαθηματικών.

Σύνολο (ή και συλλογή) ονομάζουμε ένα πλήθος από αντικείμενα, σαφώς ορισμένα και διαφορετικά μεταξύ τους, τα οποία τα ξεχωρίζουμε από τα υπόλοιπα και τα θεωρούμε μια ξεχωριστή ολότητα (ή ενότητα αν προτιμάτε).

Τα αντικείμενα από τα οποία αποτελείται ένα σύνολο ονομάζονται μέλη του συνόλου.

Μέλη ενός συνόλου μπορούν να είναι αντικείμενα όπως: φυσικά σώματα, κατηγορίες ανθρώπων, ζώων, φυτών ή άψυχων αντικειμένων, αριθμοί, γράμματα, λέξεις, χημικά είδη, προϊόντα, κ.ά. Οτιδήποτε μπορεί να γίνει αισθητό με τις αισθήσεις ή τη σκέψη μας.

Παραδείγματα

Το σύνολο των συμφώνων του ελληνικού αλφαβήτου.
Το σύνολο των τριψήφιων φυσικών αριθμών.
Το σύνολο των κατοίκων του Δήμου Αθηναίων.
Το σύνολο των μαθητριών Γυμνασίου του Νομού Αχαΐας.
Το σύνολο των ψηφίων του αριθμού 2008.
Το σύνολο των μηνών ενός έτους.
Το σύνολο των γραμμάτων της λέξης "άξιος".
Το σύνολο των σημείων που αποτελούν το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.
Το σύνολο των αλογόνων.
Το σύνολο των (φυσικών) δορυφόρων του πλανήτη Κρόνου.
Το σύνολο των ρητών αριθμών.
Το σύνολο των νοτών μιας οκτάβας.

Δεν είναι σύνολα

1. Τα ωραία μυθιστορήματα της Νεοελληνικής Λογοτεχνίας.

Επειδή το επίθετο «ωραία» είναι υποκειμενικό και άρα ασαφές, η προηγούμενη πρόταση δεν ορίζει σύνολο στα Μαθηματικά.

2. Οι 5 τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί.

Η προηγούμενη πρόταση δεν ορίζει σύνολο στα Μαθηματικά, γιατί δεν είναι σαφές σε ποιους 5 τριψήφιους αριθμούς αναφέρεται και σε ποιους όχι.

Συμβολισμοί και ορισμοί

Ένα σύνολο συμβολίζεται με ένα κεφαλαίο γράμμα της ελληνικής ή της αγγλικής αλφαβήτου. Γράφουμε π.χ.: το σύνολο Γ, το σύνολο Ω, το σύνολο W, κ.τ.λ.. Είναι δυνατό εξάλλου να χρησιμοποιήσουμε δείκτες, ώστε να ξαναχρησιμοποιήσουμε το ίδιο γράμμα. Π.χ. Το σύνολο Κ₇.

Ένα μέλος ή στοιχείο του συνόλου συμβολίζεται με ένα πεζό (μικρό) γράμμα της ελληνικής ή της αγγλικής αλφαβήτου. Γράφουμε π.χ.: το στοιχείο δ, το στοιχείο φ, το στοιχείο d. Μπορούμε να αναφερθούμε σε περισσότερα από δυο στοιχεία: Π.χ.: τα στοιχεία ε, ζ, η, τα στοιχεία g, h, q. Δεν είναι αναγκαίο να είναι συνεχόμενα γράμματα, αλλά συνήθως αποφεύγονται τα τελευταία γράμματα των δυο αλφαβήτων. Είναι δυνατό εξάλλου να χρησιμοποιήσουμε δείκτες, ώστε να ξαναχρησιμοποιήσουμε το ίδιο γράμμα. Π.χ. Το στοιχείο α₁₂.

Μεταβλητή ονομάζεται ένα γράμμα που συμβολίζει ένα τυχαίο στοιχείο ενός συνόλου και έτσι χρησιμεύει για να δηλωθεί μια γενική ιδιότητα των στοιχείων αυτού του συνόλου και άρα μια ιδιότητα του ίδιου του συνόλου. Συνήθως γι' αυτόν το σκοπό χρησιμοποιούνται τα τελευταία πεζά γράμματα της ελληνικής και της αγγλικής αλφαβήτου. (Γι' αυτό αποφεύγεται η χρήση τους και για το συμβολισμό συγκεκριμένων στοιχείων του συνόλου, για να αποφευχθεί δηλαδή η σύγχιση μεταξύ ορισμένων σtοιχείων και μεταβλητών). Η διαφορά μεταξύ ορισμένων στοιχείων και μεταβλητών είναι ότι όταν εκφράζεται μια ιδιότητα για τα πρώτα (τα ορισμένα στοιχεία) ισχύει μόνο για τα συγκεκριμένα στοιχεία για τα οποία δηλώθηκε, ενώ όταν δηλώνεται μια ιδιότητα για μια μεταβλητή, ισχύει για όλα τα στοιχεία του συνόλου. Μια μεταβλητή διατρέχει όλα τα στοιχεία του συνόλου αναφοράς (δηλαδή του συνόλου στο οποίο αναφερόμαστε). Δεν είναι σίγουρο όμως ότι ισχύει και εκτός συνόλου, αλλά ούτε και αποκλείεται. Κεφαλαία γράμματα και δείκτες επίσης χρησιμοποιούνται όταν χρειάζεται.

Η φράση «Το στοιχείο α ανήκει στο σύνολο Α», συμβολίζεται στα Μαθηματικά: $\alpha \in A$ .

Η φράση «Το σύνολο Α του οποίο στοιχείο είναι το α», συμβολίζεται στα Μαθηματικά: $A\ni \alpha$ .

Η φράση «Το στοιχείο α δεν ανήκει στο σύνολο Α», συμβολίζεται στα Μαθηματικά: $\alpha \notin A$ .

1. Αν Α είναι το σύνολο των φωνηέντων του ελληνικού αλαφβήτου τότε είναι: $\alpha \in A,\;\epsilon \in A,\;\eta \in A,\;\iota \in A,\;o\in A,\;\upsilon \in A\;\kappa \alpha \iota \;\omega \in A.$ . Για κάθε άλλο αντικείμενο όμως χρησιμοποιούμε το $\notin A$ , Δηλαδή π.χ.: $\psi \notin A,\;3\notin A,\;a\notin A,\;A\notin A\;\kappa \alpha \iota \;\gamma {\acute {o}}\mu \alpha \notin A.$

2. Αν Β είναι το σύνολο των ψηφίων του αριθμού 2008, τότε είναι: $0\in B,\;2\in B\;\kappa \alpha \iota \;8\in B.$ . Για κάθε άλλο αντικείμενο όμως χρησιμοποιούμε το $\notin B.$ .

Σημαντικοί κανόνες:

1. Για΄ένα αντικείμενο, π.χ το x, και για ένα σύνολο, π.χ. Α, ισχύει μια και μόνο μια από τις παρακάτω δυο (απόλυτα διαζευκτικές) σχέσεις: $x\in A\;{\acute {\eta }}\;x\notin A.$ .

2. Για κάθε σύνολο Α ισχύει $A\notin A$ . Δηλαδή δεν υπάρχει σύνολο που να περιέχει ως στοιχείο τον εαυτό του.. Για τον παραπάνω λόγο ισχύει και η παρακάτω πρόταση:

3. Δεν υπάρχει σύνολο που να περιέχει ως στοιχεία όλα τα σύνολα (αφού τότε θα περιείχε και τον εαυτό του, γεγονός που απαγορεύεται ρητά στη Θεωρία Συνόλων).

4. Αν δεν εφαρμοστούν οι παραπάνω κανόνες προκύπτουν άτοπα (παράλογα) συμπεράσματα.

Παράσταση συνόλων

Παράσταση ενός συνόλου ονομάζεται μια μαθηματική ισότητα που ορίζει ποια ακριβώς είναι τα στοιχεία ενός συνόλου.

Υπάρχουν οι ακόλουθες τρεις μέθοδοι:

1. Με αναγραφή των στοιχείων του συνόλου. Αυτός ο τρόπος χρησιμοποιείται όταν ένα σύνολο έχει σχετικά λίγα μέλη. Σύμφωνα μ' αυτήν τη μέθοδο γράφουμε το κεφαλαίο γράμμα που συμβολίζει το σύνολο , το σύμβολο "=" (ίσον) και γράφουμε μέσα σε άγκιστρα (ή αγκύλες, δηλαδή "{}") τα μέλη του συνόλου (από μια μόνο φορά) χωρισμένα με ",".

Παρδείγματα:

1. Αν συμβολίσουμε με Α, το σύνολο των ψηφίων του αριθμού 23642", τότε έχουμε: Α = {2, 3, 4, 6}. (Δεν είναι υποχρεωτικό να βάλουμε τα μέλη του συνόλου στη σειρά, αλλά είναι καλύτερα να το κάνουμε, γιατί έτσι αποφεύγουμε πιο εύκολα λάθη επανάληψης του ίδιου στοιχείου, που είναι λάθος).

2. Αν συμβολίσουμε με Β, το σύνολο των γραμμάτων της λέξης "αναγραφή", τότε έχουμε: Β = {α, γ, η, ν, ρ, φ}.

2. Με περιγραφή: Αυτός ο τρόπος χρησιμοποιείται όταν ένα σύνολο έχει σχετικά πολλά μέλη. Σύμφωνα μ' αυτήν τη μέθοδο γράφουμε το κεφαλαίο γράμμα που συμβολίζει το σύνολο , το σύμβολο "=" (ίσον) και γράφουμε μέσα σε άγκιστρα (ή αγκύλες, δηλαδή "{}") τα ακόλουθα: α) μια μεταβλητή (π.χ χ), β( ένα διαχωριστικό "|" ή ":" ή "/" (που διαβάζεται προφορικά "όπου") και γ) έναν μαθηματικό τύπο ή μια πρόταση που δηλώνει την ιδιότητα (ή τις ιδιότητες) που πρέπει να έχει το χ για να είναι μέλος του συνόλου.

Παρδείγματα:

1. Αν συμβολίσουμε με Γ, το σύνολο των συύμφωνων του ελληνικού αλφάβητου, τότε είναι: Γ = {χ|χ συύμφωνων του ελληνικού αλφάβητου}.

2. Αν συμβολίσουμε με Δ, το σύνολο των Ελλήνων με επώνυμο που αρχίζει από "Χ", τότε είναι: Δ = {χ|χ Έλληνας με επώνυμο που αρχίζει από "Χ"}.

3. Με διάγραμμα Venn. Αυτός ο τρόπος χρησιμοποιείται όταν ένα σύνολο έχει σχετικά λίγα μέλη και έχουμε λόγους να θέλουμε να οπτικοποιηθούν τα μέλη του. Σύμφωνα με αυτήν τη μέθοδο γράφουμε όλα τα μέλη του συνόλου με μια τελεία δίπλα, τα περικυκλώνιουμε με μια κλειστή (συνήθως καμπύλη) γραμμή και γράφουμε έξω αλλά κοντά στη γραμμή το κεφαλαίο γράμμα που συμβολίζει το σύνολο.

Παραδείγματα: Ορίζουμε τα σύνολα: Α = {2, ψ, 4}, Β = {β} και Γ = {+, -, x, :}. Βλέπουμε τα διαγράμματα στην Εικόνα 1:

Εικόνα 1: Διαγράμματα Venn των παραπάνω παραδειγμάτων

Το κενό σύνολο

Κενό σύνολο( $\varnothing$ ) ονομάζεται ένα και μόνο ένα σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο.

Είναι δηλαδή: $\varnothing$ ={}. Το κενό σύνολο έχει το παρακάτω διάγραμμα Venn:

Παραδείγματα:

Το σύνολο Α, των δίψηφων φωνηέντων της λέξης "χθες". Η λέξη δεν περιέχει καν'εναδίψηφο φωνήεν. Άρα: $A=\varnothing$ .
Το σύνολο Β, των φυσικών δορυφόρων του πλανήτη Αφροδίτη. Αυτός ο πλανήτης δεν έχει κανέναν φυσικό δορυφόρο. Άρα: $B=\varnothing$ .
Το σύνολο Γ, των φυσικών αριθμών μεταξύ 6 και 7. Δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός. Άρα: $\Gamma =\varnothing$ .
To σύνολο $\Delta ={\begin{Bmatrix}x|x\in A\end{Bmatrix}}$ (εννοώντας το σύνολο Α του Παραδείγματος 1). Όμως $A=\varnothing$ . Άρα κανένα στοιχείο δεν μπορεί να ανήκει στο Δ. Άρα: $\Delta ={\begin{Bmatrix}x|x\in A\end{Bmatrix}}=\varnothing$ .
To σύνολο $E={\begin{Bmatrix}x|x\;\pi \epsilon \rho \iota \tau \tau {\acute {o}}\varsigma \;\alpha \rho \iota \theta \mu {\acute {o}}\varsigma \;\pi o\lambda \lambda \alpha \pi \lambda {\acute {\alpha }}\sigma \iota o\varsigma \;\tau o\upsilon \;2\end{Bmatrix}}$ . Δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός. Άρα: $E={\begin{Bmatrix}x|x\;\pi \epsilon \rho \iota \tau \tau {\acute {o}}\varsigma \;\alpha \rho \iota \theta \mu {\acute {o}}\varsigma \;\pi o\lambda \lambda \alpha \pi \lambda {\acute {\alpha }}\sigma \iota o\varsigma \;\tau o\upsilon \;2\end{Bmatrix}}=\varnothing$ .
To σύνολο Z, των φυσικών αριθμών που είναι λύσης της εξίσωσης 3x = 32. Δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός. Άρα: $Z=\varnothing$ .

Σημαντικοί κανόνες για το $\varnothing$ :

$\varnothing \notin \varnothing$ .
$\varnothing \in {\begin{Bmatrix}\varnothing \end{Bmatrix}}$ .
Για κάθε αντικείμενο x ισχύει: $x\notin \varnothing$ .

Χρήση μαθηματικών συμβόλων

Το σύμβολο "<" διαβάζεται "μικρότερο" και συγκρίνει αριθμούς. Δηλώνει ότι ο αριθμός αριστερά του συμβόλου είναι μικρότερος από τον άλλο δεξιά του. Π.χ.: 3<5.
Το σύμβολο ">" διαβάζεται "μεγαλύτερο" και συγκρίνει αριθμούς. Δηλώνει ότι ο αριθμός αριστερά του συμβόλου είναι μεγαλύτερος από τον άλλο δεξιά του. Π.χ.: 13>5.
Το σύμβολο " $\leq$ " διαβάζεται "μικρότερο ή ίσο" και συγκρίνει αριθμούς. Δηλώνει ότι ο αριθμός αριστερά του συμβόλου είναι μικρότερος ή ίσος (δηλαδή όχι μεγαλύτερος) από τον άλλο δεξιά του. Π.χ.: $3\leq 5$ .
Το σύμβολο " $\geq$ " διαβάζεται "μεγαλύτερο ή ίσο" και συγκρίνει αριθμούς. Δηλώνει ότι ο αριθμός αριστερά του συμβόλου είναι μεγαλύτερος ή ίσος (δηλαδή όχι μικρότερος) από τον άλλο δεξιά του. Π.χ.: $13\geq 5$ .
Το σύμβολο " $\neq$ " διαβάζεται "διαφορετικό" και συγκρίνει όχι μόνο αριθμούς. Δηλώνει ότι το αντικείμενο αριστερά του συμβόλου είναι διαφορετικό (όχι ίσο) από το άλλο δεξιά του. Π.χ.: $5\neq 8$ , αλλά και για δυο διαφορετικά σύνολα Α και Β είναι: $A\neq B$ .
Το σύμβολο " $\simeq$ " διαβάζεται "΄ίσο με προσέγγιση" (σχεδόν ίσο) και συγκρίνει αριθμούς. Δηλώνει ότι ο αριθμός αριστερά του συμβόλου είναι σχεδόν ίσος από τον άλλο δεξιά του. Π.χ.: $3,99\simeq 4$ .
Το σύμβολο " $\Rightarrow$ " διαβάζεται "συνεπάγεται" ή "τότε" ή "άρα" (ονομάζεται σύμβολο λογικής επαγωγής) και δηλώνει ότι η πρόταση ή σχέση δεξιά του προκύπτει λογικά από αυτήν αριστερά του. Π.χ.: $x=5\Rightarrow x\neq 0$ και $A={\begin{Bmatrix}7\end{Bmatrix}}\Rightarrow A\neq \varnothing$ .
Το σύμβολο " $\Leftrightarrow$ " διαβάζεται "συνεπάγεται και αντίστροφα" ή "ισοδύναμο με" ή "αν και μόνο αν" ή "τότε και μόνο τότε" (ονομάζεται σύμβολο λογικής ισοδυναμίας) και δηλώνει ότι η πρόταση ή σχέση δεξιά του προκύπτει λογικά από αυτήν αριστερά του, αλλά και αντίστροφα (δηλαδή και αυτή αριστερά προκύπτει λογικά από αυτήν δεξιά). Π.χ.: $x-5=0\Rightarrow x=5$ και $A={\begin{Bmatrix}\alpha ,\nu \end{Bmatrix}}\Leftrightarrow A={\begin{Bmatrix}x|x\;\gamma \rho {\acute {\alpha }}\mu \mu \alpha \;\tau \eta \varsigma \;\lambda {\acute {\epsilon }}\xi \eta \varsigma \;''\alpha \nu ''\end{Bmatrix}}$ .
Το σύμβολο " $\forall$ " διαβάζεται "για όλα" ή "για κάθε" (ονομάζεται καθολικός ποσοδείκτης). Αν έχουμε τα σύνολα

Α = {2, 3, 4, 5, 6 } και B = {8, 9, 10} τότε: $\forall x\in A\;\kappa \alpha \ \iota \;\forall \psi \in B\Rightarrow x<\psi$ .

Πολυσύνολο

Πολυσύνολο είναι σύνολο, κάθε στοιχείο του μπορεί να ανήκει στο σύνολο περισσότερες από μία φορές. Κάθε στοιχείο του πολυσυνόλου συνοδεύεται από το πλήθος των φορών που ανήκει.

Για παράδειγμα το {1,1,1,2,4,8} είναι ένα πολυσύνολο.

Πληθάριθμος

Πληθάριθμος είναι ο αριθμός που δηλώνει πόσα στοιχεία ένα σύνολο. Συμβολίζεται με card.

Για παράδειγμα ο πληθάριθμος του A={1,3,7,2,10} είναι: card(A)=5

(άρθρο υπό διαμόρφωση).

Επιστροφή στο Τμήμα Μαθηματικών