Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα

Οι πρωταρχικές γεωμετρικές έννοιες

Όπως αναφέρθηκε, η μελέτη της Γεωμετρίας ξεκινά από έννοιες οι οποίες προκύπτουν άμεσα από την εμπειρία μας, όπως οι έννοιες σημείο, ευθεία, και επίπεδο τις οποίες τις δεχόμαστε ως πρωταρχικές χωρίς περαιτέρω διευκρινήσεις. Οι έννοιες αυτές δέχονται τις παρακάτω παραδοχές:

• Από δύο σημεία διέρχεται μία και μόνο μία ευθεία.
• Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο του επιπέδου που δεν ανήκει σε αυτήν.
• Κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία και εκτείνεται απεριόριστα προς τις δύο κατευθύνσεις, χωρίς να διακόπτεται πουθενά.

2.1) Σημεία, γραμμές και επιφάνειες

Σχήμα 1: Δύο σημεία Α και Β.

Ένα σημείο είναι αδιάστατο (δεν έχει διαστάσεις). Παριστάνεται με μία τελεία και ένα γράμμα από δίπλα (σχ. 1). Αν μετακινηθεί το μολύβι μας δίχως διακοπή πάνω σε ένα χαρτί, τότε το ίχνος αφήνει μία γραμμή (σχ. 2). Σε κάθε θέση του το ίχνος της μύτης του μολυβιού παριστάνει και από ένα σημείο. Η γραμμή, λοιπόν, είναι μία συνεχής σειρά θέσεων που παίρνει ένα κινητό σημείο. Την μορφή κάθε στερεού σώματος την αντιλαμβανόμαστε από την επιφάνειά του. Το σύνολο των σημείων τα οποία το χωρίζουν από το περιβάλλον του ονομάζεται επιφάνεια του σώματος.

Σχήμα 2: Μία γραμμή.

Αρχικά, θα ασχοληθούμε με την μελέτη σχημάτων και γραμμών, που βρίσκονται σε μία συγκεκριμένη επιφάνεια, το επίπεδο.

2.2) Το επίπεδο

Το επίπεδο ή αλλιώς επίπεδη επιφάνεια είναι η απλούστερη από όλοες τις επιφάνειες. Η επιφάνεια του πίνακα, η επιφάνεια του τραπεζιού, η επιφάνεια μίας ήρεμης λίμνης κτλ. μας δίνουν την εικόνα ενός επιπέδου. Στο πρώτο μέρος της Γεωμετρίας, την επιπεδομετρία, δεν θα ορίστει τοεπίπεδο ούτε τα αξιώματα που το χαρακτηρίζουν, αλλά θα μελετηθεί εξετάζοντας τις ιδιότητες των σχημάτων, των οποίων όλα τα στοιχεία παρέχονται στο ίδιο επίπεδο. Τα σχήμστα αυτά ονομάζονται επίπεδα σχήματα.

2.3) Η ευθεία

Σχήμα 3: Ευθείες, η x'x και η y'y τέμνονταιστο σημείο Ο. Οι ευθείες ε και ζ είναι παράλληλες μεταξύ τους.

Από δύο σημεία Α, Β διέρχεται μία και μόνο μία ευθεία. Η ευθεία αυτή ονομάζεται ευθεία ΑΒ ή ΒΑ (σχ. 3). Επίσης, η ευθεία ονομάζεται είτε με ένα μικρό γράμμα (π.χ. ε,ζ) είτε ως x'x. Όπως γίνεται αντιληπτό δύο διαφορετικές ευθείες δεν δύναται να τέμνονται σε δύο σημεία. Άρα υπάρχει ένα μοναδικό κοινό σημείο ή κανένα. Δύο ευθείες οι οποίες τέμνονται, έχουν ένα κοινό σημείο, λέγονται τεμνόμενες ευθείες, ενώ το κοινό τους σημείο ονομάζεται τομή των δύο ευθειών. Οι ευθείες που δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες.

2.4) Η ημιευθεία

Όλες οι ευθείες έχουν άπειρα σημεία και εκτείνονται απεριόριστα χωρίς διακοπές ή κενά. Έστω η ευθεία x'x και σημείο αυτής Α (σχ. 4). Το σημείο αυτό χωρίζει την ευθεία σε δύο μέρη που συμβολίζονται ως Αx και Αx' και ονομάζονται ημιευθείες με αρχή το σημείο Α.

Η ευθεία x'x λέγεται φορέας της ημιευθείας Αx (σχ. 5).

Δύο ημιευθείες Αx, Αy με μόνο κοινό σημείο την αρχή τους Α, όταν έχουν τον ίδιο φορέα λέονται αντικείμενες (σχ. 6).

Σχήμα 4: Ημιευθεία

Σχήμα 5: Φορέας ημιευθείας.

Σχήμα 6: Αντικείμενες ημιευθείες.

2.5) Ευθύγραμμο Τμήμα

Ας θεωρήσουμε την ευθεία (ε) και πάνω σε αυτήν δύο σημεία Α, Β. Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ή ΒΑ (σχ. 7)ονομάζουμε το σχήμα που άρχεται από του σημείου Α ή Β και λήγει στο σημείο Β ή Α, αντιστοίχως. Επίσης, περιέχει όλα τα σημεία της ευθείας που βρίσκονται μεταξύ των δύο σημείων Α και Β.

Σχήμα 7: Το ευθύγραμμο τμήμα

Τα σημεία Α και Β ονομάζονται άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, η δε ευθεία φορέας (βλ. διανύσματα) του τμήματος. Όλα τα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος, εκτός των άκρων, λέγονται εσωτερικά π.χ. το Γ είναι ένα εσωτερικό σημείο του τμήματος ΑΒ (σχ. 7). Επίσης, λέμε ότι τα σημεία Α, Β βρίσκονται εκατέρωθεν του Γ, ενώ τα Β και Γ είναι προς το ίδιο μέρος του Α. Δύο τμήματα με κοινό το ένα άκρο και κανένα κοινό εσωτερικό σημείο, ονομάζονται διαδοχικά.