ΜΑΘ101/Ποσοδείκτες

Προηγούμενη Ενότητα

Περιεχόμενα

Επόμενη Ενότητα

Ποσοδείκτες

ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

Eίναι μια έκφραση που περιέχει μια μεταβλητή, η οποία παίρνει τιμές από το σύνολο Ω, και μετατρέπεται σε (λογική) πρόταση κάθε φορά που το x θα πάρει μια συγκεκριμένη τιμή από το σύνολο Ω.

π.χ: Έστω σύνολο Ω (σύνολο αναφοράς) Ω = {1,2,3,4,5}

p(x) "ο αριθμός x είναι άρτιος"

p(1) = (Ψ)ή (0) δηλαδή Ψευδής

p(2)=(A) ή (1) δηλαδή Αληθής

p(3) = (Ψ)ή (0) δηλαδή Ψευδής

p(4) =(A) ή (1) δηλαδή Αληθής

p(5) =(Ψ)ή (0) δηλαδή Ψευδής

A= {2,4} Το σύνολο Α χαρακτηρίζεται ώς ΣΥΝΟΛΟ ΑΛΗΘΕΙΑΣ καθώς περιλαμβάνει τα στοιχεία για τα οποία ο προτασιακός τύπος μας δίνει τιμή αληθείας (Α)ή (1) δηλ. Αλήθεια

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα το Α είναι υποσύνολο του Ω δηλ. A ⊆ Ω

Καθολικός ποσοδείκτης $\forall$

Για τον καθολικός ποσοδείκτη (universal quantifier) χρησιμοποιείται το σύμβολο ∀ για να εκφράσει για κάθε. Αν έχω έναν προτασιακό τύπο p(x) με Σύνολο Αναφοράς Ω και Σύνολο Αληθείας Α, που ταυτίζονται (A=Ω) μία πρόταση είναι καθολικά αληθής δηλ. ∀x∈Ω (για κάθε x που ανήκει στο Ω) ο p(x) είναι Αληθής ή αλλιώς ο p(x) είναι καθολικά αληθής στο Ω.

π.χ 1: ∀x∈ℝ 0*x=0 (για κάθε x που ανήκει στο σύνολο των Πραγματικών Αριθμών το γινόμενο 0*x ισούται με μηδέν)

π.χ 2: (x+1)²= x²+ 2x + 1 , ∀x∈ℝ (η ταυτότητα ισχύει για κάθε αριθμό x που ανήκει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών)

π.χ 3 : x>0 ∀x∈ℕ* (για κάθε x που ανήκει στο σύνολο των Φυσικών αριθμών, το x είναι μεγαλύτερο του μηδενός)

όπου ℕ* = {1,2,3,4,5...} δηλ. δεν συμπεριλαμβάνει το μηδέν (0).

Υπαρξιακός ποσοδείκτης $\exists$

Για τον υπαρξιακό ποσοδείκτη (existential quantifier) χρησιμοποιείται το σύμβολο ∃ για να εκφράσει υπάρχει τουλάχιστον ένα ή μία. Aν έχω έναν προτασιακό τύπο p(x) με Σύνολο Αναφοράς Ω και Σύνολο Αληθείας Α, που ΔΕΝ ταυτίζονται (Α≠Ω).

  ΕΔΩ η πρόταση: ∀x∈Ω p(x)=(Α)αληθής
είναι (Ψ) ,ΨΕΥΔΗΣ

η άρνησή της όμως ¬p είναι (Α)Αληθής

ΕΠΟΜΕΝΩΣ υπάρχει x, τέτοιο ώστε ο προτασιακός τύπος να είναι αληθής. Kαι συμβολίζεται:
           ∃x∈Ω   ,  p(x)= (A)

π.χ 1: p(x) , x²-4=0 ,x∈ℤ

             x = ∓2

δηλ. Yπάρχουν x∈ℤ ώστε x²-4=0

           ∃x∈ℤ για τα οποία ο τύπος p(x)=(Α)αληθής

π.χ 2:

            3x + 5 = 8 
                3x = 8 - 5
                3x = 3
                x = 1

ΕΔΩ ΔΕΝ ισχύει το : ∀x∈ℝ 3x + 5 = 8 (για κάθε αριθμό x που ανήκει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ισχύει 3x + 5 = 8)

ΑΛΛΑ ∃x∈ℝ 3x + 5 = 8, x=1 (υπάρχει x, τέτοιο ώστε ο p(x) να είναι αληθής 3x + 5 = 8 και συγκεκριμένα το 1)

Προηγούμενη Ενότητα

Περιεχόμενα

Επόμενη Ενότητα