Στοιχειώδης διανυσματική άλγεβρα

Αυτό το άρθρο χρειάζεται επιμέλεια ώστε να ανταποκρίνεται σε υψηλότερες προδιαγραφές ορθογραφικής και συντακτικής ποιότητας ή μορφοποίησης. Σημείωση: Πολλές φορές τα κείμενα στα οποία βρίσκεται αυτό το πρότυπο, παραβιάζουν πνευματικά δικαιώματα. Κάντε ένα σχετικό έλεγχο πριν ξεκινήσετε την επιμέλεια, αφού είναι πιθανό να διαγραφεί. Μετά την επιμέλεια του άρθρου, είστε ελεύθεροι να διαγράψετε αυτή την επισήμανση. Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τα άρθρα Πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και Βικιεπιστήμιο:Οδηγός μορφοποίησης άρθρων.

Το μάθημα αυτό έχει σκοπό να αποτελέσει μια στοιχειώδη παρουσίαση των πιο σημαντικών στοιχείων της διανυσματικής άλγεβρας. Εδώ παρουσιάζονται τα κύρια στοιχεία ενός ευκλείδιου διανύσματος, δηλαδή μιας προσανατολισμένης ποσότητας, καθώς αποτελεί μια απ' τις σημαντικότερες έννοιες στη Φυσική και στην Εφαρμοσμένη Μηχανική. Για μια πιο γενική μαθηματική έννοια, δείτε τη σελίδα διανυσματικός χώρος.

Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη

Μια οποιαδήποτε ποσότητα μπορεί να είναι είτε βαθμωτό, είτε διάνυσμα.

Βαθμωτά και διανύσματα

Βαθμωτό ονομάζουμε μια ποσότητα που έχει μόνο μέτρο.

Διάνυσμα ονομάζουμε μια ποσότητα που έχει μέτρο και κατεύθυνση.

Κατεύθυνση ονομάζουμε την διεύθυνση και την φορά ενός διανύσματος μαζί.

Για παράδειγμα, η θερμοκρασία είναι βαθμωτό μέγεθος, γιατί μπορούμε να τη χαρακτηρίσουμε μόνο με έναν αριθμό, όπως 28 °C. Σημειώνεται ότι δεν πρέπει να είναι αναγκαστικά θετικός ή ακέραιος, για παράδειγμα μπορούμε να έχουμε θερμοκρασία -4,8 °C. Η ταχύτητα όμως δεν μπορεί να χαρακτηριστεί στη γενική περίπτωση μόνο από το μέτρο της, γιατί δε μας ενδιαφέρει μόνο πόσο γρήγορα κινείται ένα σώμα, αλλά και προς τα πού πηγαίνει.

Για να δηλώσουμε ότι ένα μέγεθος είναι διανυσματικό υπάρχουν διάφοροι συμβολισμοί, ανάλογα με το πλαίσιο το οποίο μελετάμε κάθε φορά και αν τα μεγέθη μεταβάλλονται με το χρόνο ή όχι. Γενικά όμως ο πιο συνηθισμένος τρόπος για να δείξουμε ένα διάνυσμα είναι με ένα βέλος ή με έντονη γραφή, δηλαδή ως ${\overrightarrow {A}}$ ή $\mathbf {A}$. Τα βαθμωτά σημειώνονται με κανονική γραφή ή πιο συνηθισμένα με πλάγια, για παράδειγμα ${\mathit {A}}$.

Ένα διάνυσμα χαρακτηρίζεται από την αρχή του και το πέρας του. Το σημειώνουμε με ένα βέλος που ξεκινάει από την αρχή και η μύτη του βέλους βρίσκεται στο πέρας του. Η απόσταση αυτών των δύο σημείων καθορίζει το μέτρο του και ο προσανατολισμός του την κατεύθυνσή του. Η κατεύθυνσή του συνεπώς ορίζεται αν ξέρουμε τη διεύθυνση του διανύσματος, δηλαδή την ευθεία που ορίζουν τα δύο σημεία, και την φορά του, δηλαδή από ποιο σημείο ξεκινάει και σε ποιο τελειώνει.

Μηδενικό διάνυσμα ονομάζουμε το διάνυσμα που έχει μηδενικό μέτρο, δηλαδή η αρχή του είναι ίδια με το πέρας του. Για το μηδενικό διάνυσμα δεν ορίζεται κατεύθυνση. Το συμβολίζουμε συνήθως ως ${\overrightarrow {0}}$ ή $\mathbf {0}$. Αντίθετο διάνυσμα ονομάζουμε το διάνυσμα που έχει ίδιο μέτρο και αντίθετη φορά, δηλαδή με πιο απλά λόγια το διάνυσμα που «βλέπει» προς την αντίθετη μεριά.

Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων

${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {a+b}}$

Έστω διάνυσμα ${\vec {a}}={\binom {a_{1}}{a_{2}}}$ και διάνυσμα ${\vec {b}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}$ Ορίζουμε σαν άθροισμα των δύο διανυσμάτων ${\vec {c}}={\vec {a+b}}={\binom {a_{1}+b_{1}}{a_{2}+b_{2}}}$

Με τον ίδιο τρόπο, ορίζουμε και την διαφορά δύο διανυσμάτων, ${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}={\binom {a_{1}-b_{1}}{a_{2}-b_{2}}}$

Πολλαπλασιασμός διανύσματος με βαθμωτό

Έστω αριθμός a και διάνυσμα ${\vec {b}}={\binom {x}{y}}$. Το γινόμενό τους, δίδεται από την σχέση $a\cdot {\vec {b}}={\binom {a*x}{a*y}}$

Εσωτερικό γινόμενο

Έστω δύο διανύσματα ${\vec {a}}={\binom {x_{1}}{y_{1}}}$ και διάνυσμα ${\vec {b}}={\binom {x_{2}}{y_{2}}}$. Εσωτερικό γινόμενο ονομάζουμε τον αριθμό που προκύπτει από την πράξη

${\overrightarrow {ab}}={\binom {x_{1}*x_{2}}{y_{1}*y_{2}}}$

Ομοίως, ορίζεται και το εσωτερικό γινόμενο με τον τελεστή της στροβιλότητας.

Ειδική Περίπτωση Εσωτερικού Γινομένου

Το εσωτερικό γινόμενο του τελεστή ανάδελτα με ένα διάνυσμα ισούται με την κλίση ενός διανυσματικού πεδίου. Έτσι, $\nabla {\vec {a}}={\binom {\partial \over \partial x}{\partial \over \partial y}}\cdot {\binom {a_{x}}{a_{y}}}={\binom {\partial a_{x} \over \partial x}{\partial a_{y} \over \partial y}}$

Παράδειγμα

Δίδεται ο διανυσματικός χώρος ${\vec {a}}={\binom {3x^{2}+5xy+4y^{2}}{10x^{2}+4xy+3y^{2}}}$. Η κλίση του δίδεται από την σχέση $grad{\vec {\alpha }}=\nabla {\vec {a}}={\binom {\partial (3x^{2}+5xy+4y^{2}) \over \partial x}{\partial (10x^{2}+4xy+3y^{2}) \over \partial y}}={\binom {6x+5y}{4x+6y}}$

Εξωτερικό γινόμενο

Έστω δύο διανύσματα ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}$ και διάνυσμα ${\vec {b}}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$. Εξωτερικό γινόμενο ονομάζουμε το διάνυσμα που προκύπτει από την πράξη

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}{\hat {e}}_{1}&{\hat {e}}_{2}&{\hat {e}}_{3}\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{vmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{1}*z_{2}-y_{2}*z_{1}\\x_{1}*z_{2}-x_{2}*z_{1}\\x_{1}*y_{2}-x_{2}*y_{1}\end{pmatrix}}$ όπου τα διανύσματα ${\vec {e_{1}}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}{\vec {e_{2}}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ και ${\vec {e_{3}}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ είναι τα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα.

Ιδιότητες Εξωτερικού γινομένου

• ${\vec {x}}\times {\vec {y}}=-{\vec {y}}\times {\vec {x}}$
• ${\vec {x}}\times ({\vec {y}}+{\vec {z}})={\vec {x}}\times {\vec {y}}+{\vec {x}}\times {\vec {z}}$
• $({\vec {x}}+{\vec {y}})\times {\vec {z}}={\vec {x}}\times {\vec {z}}+{\vec {y}}\times {\vec {z}}$
• $(\alpha {\vec {x}})\times {\vec {y}}=\alpha ({\vec {x}}\times {\vec {y}})={\vec {x}}\times (\alpha {\vec {y}})\forall \alpha \in \Re$
• $({\vec {x}}\times {\vec {y}})\times {\vec {z}}=({\vec {x}}\cdot {\vec {z}})\cdot {\vec {y}}-({\vec {y}}\cdot {\vec {z}}){\vec {x}}$

Ειδική Περίπτωση Εξωτερικού Γινομένου

Σαν ειδική περίπτωση του εξωτερικού γινομένου είναι η στροβιλότητα ενός διανυσματικού χώρου ${\overrightarrow {a}}$ η οποία συμβολίζεται με curl, δηλαδή $curl{\vec {\alpha }}=\nabla \times {\vec {\alpha }}={\begin{vmatrix}{\hat {e}}_{1}&{\hat {e}}_{2}&{\hat {e}}_{3}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{vmatrix}}={\begin{pmatrix}{\partial a_{z} \over \partial y}-{\partial a_{y} \over \partial z}\\{\partial a_{z} \over \partial x}-{\partial a_{x} \over \partial z}\\{\partial a_{y} \over \partial x}-{\partial a_{x} \over \partial y}\end{pmatrix}}$

Πράξεις με τον τελεστή ανάδελτα

Θεωρούμε διανυσματική συνάρτηση $\upsilon ({\vec {r}})=u_{x}{\hat {e}}_{1}+u_{y}{\hat {e}}_{2}+u_{z}{\hat {e}}_{3}=u(x,y,z){\hat {e}}_{1}+u(x,y,z){\hat {e}}_{2}+u(x,y,z){\hat {e}}_{3}$ και αριθμητική συνάρτηση f(x,y,z) και με τα αντίστοιχα πεδία ορισμού. Για αυτή την συγκεκριμένη συνάρτηση ορίζουμε τις παρακάτω διανυσματικές πράξεις:

• ${\mbox{div}}\,({\mbox{grad}}\,f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla \cdot ({\partial f \over \partial x}{\hat {e}}_{1}+{\partial f \over \partial y}{\hat {e}}_{2}+{\partial f \over \partial z}{\hat {e}}_{3})={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}{\hat {e}}_{1}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}{\hat {e}}_{2}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}{\hat {e}}_{3}$
• ${\mbox{curl}}\,({\mbox{grad}}\,f)=\nabla \times (\nabla f)=\nabla \times ({\partial f \over \partial x}{\hat {e}}_{1}-{\partial f \over \partial y}{\hat {e}}_{2}+{\partial f \over \partial z}{\hat {e}}_{3})={\begin{vmatrix}{\hat {e}}_{1}&{\hat {e}}_{2}&{\hat {e}}_{3}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\{\partial f \over \partial x}&{\partial f \over \partial y}&{\partial f \over \partial z}\end{vmatrix}}={\begin{pmatrix}{\partial ^{2}f \over {\partial y\partial z}}-{\partial ^{2}f \over {\partial z\partial y}}\\{\partial ^{2}f \over {\partial z\partial x}}-{\partial ^{2}f \over {\partial x\partial z}}\\{\partial ^{2}f \over {\partial x\partial y}}-{\partial ^{2}f \over {\partial x\partial z}}\end{pmatrix}}$
• $\Delta f=\nabla ^{2}f$
• ${\mbox{grad}}\,({\mbox{div}}\,{\vec {\upsilon }})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {\upsilon }})=\nabla ({\partial u_{x} \over \partial x}{\hat {e}}_{1}+{\partial u_{y} \over \partial y}{\hat {e}}_{2}+{\partial u_{z} \over \partial z}{\hat {e}}_{3})={\partial ^{2}u_{x} \over \partial x^{2}}{\hat {e}}_{x}+{\partial ^{2}u_{y} \over \partial y^{2}}{\hat {e}}_{2}+{\partial ^{2}u_{z} \over \partial z^{2}}{\hat {e}}_{3}$
• ${\mbox{div}}\,({\mbox{curl}}\,{\vec {\upsilon }})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {\upsilon }})=\nabla \cdot {\begin{vmatrix}{\hat {e}}_{1}&{\hat {e}}_{2}&{\hat {e}}_{3}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\end{vmatrix}}=\nabla \cdot \left[({\partial u_{z} \over \partial y}-{\partial u_{y} \over \partial z}){\hat {e}}_{1}-({\partial u_{z} \over \partial x}-{\partial u_{x} \over \partial z}){\hat {e}}_{2}+({\partial u_{z} \over \partial x}-{\partial u_{x} \over \partial x}){\hat {e}}_{3}\right]={\begin{pmatrix}{\partial ^{2}u_{z} \over {\partial y\partial x}}-{\partial ^{2}u_{y} \over {\partial z\partial x}}\\{\partial ^{2}u_{x} \over {\partial z\partial y}}-{\partial ^{2}u_{z} \over {\partial x\partial y}}\\{\partial ^{2}u_{z} \over {\partial x\partial z}}-{\partial ^{2}u_{x} \over {\partial y\partial z}}\end{pmatrix}}$
• ${\mbox{curl}}\,({\mbox{curl}}\,{\vec {\upsilon }})=\nabla \times (\nabla \times {\vec {\upsilon }})=\nabla \times {\begin{vmatrix}e_{1}&e_{2}&e_{3}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\u_{x}&u_{y}&y_{z}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}e_{1}&e_{2}&e_{3}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\{\partial u_{z} \over \partial y}-{\partial u_{y} \over \partial z}&{\partial u_{x} \over \partial z}-{\partial u_{z} \over \partial x}&{\partial u_{y} \over \partial x}-{\partial u_{y} \over \partial y}\end{vmatrix}}={\begin{pmatrix}{\partial ^{2}u_{y} \over {\partial x\partial y}}-{\partial ^{2}u_{y} \over {\partial y^{2}}}-{\partial ^{2}u_{x} \over {\partial z^{2}}}+{\partial ^{2}u_{z} \over {\partial x\partial z}}\\{\partial ^{2}u_{y} \over {\partial x^{2}}}+{\partial ^{2}u_{y} \over {\partial x\partial y}}+{\partial ^{2}u_{z} \over {\partial y\partial z}}-{\partial ^{2}u_{y} \over {\partial z^{2}}}\\{\partial ^{2}u_{x} \over {\partial z\partial x}}-{\partial ^{2}u_{z} \over {\partial x^{2}}}-{\partial ^{2}u_{z} \over {\partial y^{2}}}+{\partial ^{2}u_{y} \over {\partial z\partial y}}\end{pmatrix}}$
• $\Delta {\vec {v}}=\nabla ^{2}{\vec {\upsilon }}={\begin{pmatrix}{\partial ^{2}u_{x} \over {\partial x^{2}}}\\{\partial ^{2}u_{y} \over {\partial y^{2}}}\\{\partial ^{2}u_{z} \over {\partial z^{2}}}\end{pmatrix}}$