Πράξεις διανυσμάτων\Μέρος Α

Από Βικιεπιστήμιο
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Δύο διανύσματα μπορούν να συνδυαστούν μεταξύ τους. Δύο οποιαδήποτε προσανατολισμένα μεγέθη μπορούν να επιδράσουν ταυτόχρονα ή να επηρεάσουν ένα τρίτο μέγεθος που εξαρτάται τόσο από το μέτρο τους όσο και από τον προσανατολισμό τους.

Υποθετικός οδικός χάρτης με τις πιθανές δύο πορείες του αυτοκινήτου. Ανάλογα με το συνδυασμό προκύπτει και διαφορετικό μέρος.

Παράδειγμα 1:

Ο οδηγός ενός αυτοκινήτου θέλει πάει σε ένα μέρος. Διατρέχει μια λεοφόρο, ίσως χρειαστεί να στρίψει σε κάποιο σημείο σε ένα στενό και να συνεχίσει λίγο ακόμα. Κάθε διάνυσμα έχει μόνο έναν προσανατολισμό. Έτσι, ενώ η πορεία του αυτοκινήτου στο σύνολο της διαδρομής έχει ένα συγκεκριμένο προσανατολισμό τα δύο μέρη της πορείας του έχουν δύο διαφορετικούς προσανατολισμούς. Ο τελικός προσανατολισμός εξαρτάται και από τα μέτρα που διάνυσε σε κάθε κομμάτι της διαδρομής, σε άλλο μέρος θα έφτανε το αυτοκίνητο αν πήγαινε 100 μέτρα κατά τη λεοφόρο και 20 μέτρα κατά το στενό και σε άλλο μέρος θα πήγαινε αν προχωρούσε 20 μέτρα κατά τη λεοφόρο και 100 μέτρα κατά το στενό. Βέβαια στο παραπάνω παράδειγμα θεωρήσαμε ότι οι δρόμοι είναι ίσιοι.

Παράδειγμα 2:

Σε ένα ποτάμι που ρέει ορμητικά πέφτει ένας κορμός δέντρου. Η ροή του ποταμού μπορεί να περιγραφεί με διανύσματα, την ταχύτητα της κάθε περιοχής του νερού του ποταμού. Έστω ένα εφαρμοστό διάνυσμα που δείχνει τον προσανατολισμό του κορμού από τη ρίζα στην κορυφή με μήκος όσο το δέντρο και εφαρμογή τέτοια ώστε να είναι όλο πάνω στον κορμό. Αυτό το διάνυσμα μεταβάλλεται στο χώρο ως προς τον προσανατολισμό, ανάλογα με το πού βρίσκεται κάθε στιγμή ο κορμός και πώς ρέουν τα νερά γύρω του, δηλαδή ο συνδυσμός των διανυσμάτων των ταχυτήτων των γύρω από τον κορμό νερών επηρεάζει το διάνυσμα του κορμού.

Πρόσθεση διανυσμάτων[επεξεργασία]

Suma de vectors.jpeg
Άθροισμα δύο διανυσμάτων είναι το διάνυσμα με αρχή την αρχή του και πέρας το πέρας του , αν το εφαρμοστεί στο πέρας του . Συμβολίζεται με . Η πράξη αυτή ονομάζεται πρόσθεση των διανυσμάτων .


Παράδειγμα πρόσθεσης διανυσμάτων. Αν ο άνθρωπος κινιόταν αντίθετα από το τρένο θα ήταν ακίνητος ως προς το έδαφος.

Ο ορισμός καλύπτει τα εφαρμοστά και τα ελεύθερα διανύσματα.

Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δύο διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα. Ένα διάνυσμα που συμμετέχει σε ένα άθροισμα διανυσμάτων ονομάζεται προσθεταίος ή όρος της πρόσθεσης. Η πράξη αυτή έχει τις ίδιες ιδιότητες με την πρόσθεση των αριθμών:

  • Αντιμεταθετική ιδιότητα: Το άθροισμα δύο διανυσμάτων δεν εξαρτάται από τη σειρά των δύο αρχικών διανυσμάτων.
  • Προσεταιριστική ιδιότητα: Το άθροισμα τριών διανυσμάτων δεν εξαρτάται από το ποιό ζεύγος θα υπολογιστεί πρώτα.
Σημειωση

Οι δύο παραπάνω ιδιότητες επαγωγικά εφαρμοζόμενες επιτρέπουν την αναγραφή ενός αθροίσματος πολλών διανυσμάτων να έχει νόημα χωρίς προσιορισμό της σειράς με τον οποίο θα γίνουν οι προσθέσεις, δηλαδή το άθροισμα είναι ένα και μοναδικό ανεξάρτητα τη σειρά των πράξεων και των όρων του αθροίσματος.

Αντίθετα διανύσματα
  • Ύπαρξη αντίθετου στοιχείου: Το άθροισμα δύο αντίθετων διανυσμάτων είναι , αφού αν το πέρας του ενός εφαρμοστεί στην αρχή του άλλου, τότε το πέρας του άλλου θα συμπέσει στην αρχή του ενός.

Προφανώς ισχύει η σχέση:

δηλαδή αν σε ίσα διανύσματα προτεθεί το ίδιο διάνυσμα, τότε τα αθροίσματα θα είναι ίσα.

Sciences humaines.svg
Συνισταμένη και συνιστώσες
Κάθε διάνυσμα μπορεί να προσδιοριστεί ως άθροισμα συγκεκριμένου αριθμού διανυσμάτων. Τα διανύσματα αυτά ονομάζονται συνιστώσες, ενώ το άθροισμά τους συνισταμένη. Η διαδικασία εύρεσης των συνιστωσών ονομάζεται ανάλυση διανύσματος, ενώ η εύρεση της συνισταμένης σύνθεση διανυσμάτων.

Αφαίρεση διανυσμάτων[επεξεργασία]

Vector subtraction.png
Μέθοδος αφαίρεσης διανυσμάτων.
Αφαίρεση διανυσμάτων ονομάζεται η πρόσθεση ενός διανύσματος με τον αντίθετο ενός άλλου διανύσματος. Το αντίθετο διάνυσμα του συμβολίζεται με . Ισχύει η σχέση


διελκυστίνδα

Όπως και στους αριθμούς το αντίθετο διάνυσμα δηλώνει αντίθετη δράση. Για παράδειγμα αν σε μια διελκυστίνδα συμβολίσουμε με διανύσματα τις προσπάθειες των δύο πλευρών το τελικό αποτέλεσμα προβλέπεται από την αφαίρεση των δύο προσπαθειών.

Προσοχη!

Επειδή η έννοια του διανύσματος περιέχει την έννοια της κατεύθυνσης η αφαίρεση αντιμετωπίζεται πλήρως ως πρόσθεση. Αρκεί να προσέξουμε να αντικαταστήσουμε τα διανύσματα που έχουν αρνητικό πρόσημο (τα αντίθετα διανύσματα) με τα αντίστοιχα με θετικό πρόσημο.

Προφανώς ισχύει η σχέση:

όπως και στην πρόσθεση.

Ισχύει η σχέση:

Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων[επεξεργασία]

Στην αναλυτική γεωμετρία ορίζονται τρεις πολλαπλασιασμοί σχετικά με τα διανύσματα. Ο ένας σχετίζεται με τους αριθμούς και οι άλλοι δύο αφορούν τα ίδια τα διανύσματα, το αποτέλεσμα του ενός είναι αριθμός και του αποτέλεσμα του άλλου διάνυσμα. Στους μιγαδικούς αριθμούς που σχετίζονται με τα διανύσματα υπάρχει και τέταρτος πολλαπλασιασμός, ενώ η έννοια του διανύσματος και του αριθμού συγχέονται.

Εδώ αναλύεται ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός, για τα άλλα δύο είδη πολλαπλασιασμών πατήστε εδώ

Βαθμωτός πολλαπλασιασμός του με το 3.

Βαθμωτός πολλαπλασιασμός[επεξεργασία]

Βαθμωτό γινόμενο του διανύσματος με τον πραγματικό αριθμό λ συμβολίζεται με και ονομάζεται το διάνυσμα που έχει μέτρο και είναι ομόρροπο του , αν ο αριθμός λ είναι θετικός, και αντίρροπο του , αν ο αριθμός λ είναι αρνητικός. Αν ο αριθμός λ είναι 0, τότε το βαθμωτό γινόμενο είναι το .


ElevadorDeSantaJusta-Lisbon.jpg

Διαισθητικά αυτός ο πολλαπλασιασμός αντιστοιχεί στον αριθμό των προσθέσεων ενός διανύσματος με τον εαυτό του. Για παράδειγμα, για να ανέβει ένας ανελκυστήρας από το εισόγειο στον τρίτο όροφο θα εκτελέσει τρεις φορές την κίνηση από το ισόγειο στον πρώτο όροφο, δηλαδή θα εκτελέσει κίνηση τόση όση από το εισόγειο στον πρώτο όροφο συν την κίνηση από το δεύτερο όροφο στον τρίτο όροφο συν την κίνηση από το δεύτερο όροφο στον τρίτο. Φυσικά το παράδειγμα έχει νόημα αν οι όροφοι της πολυκατοικίας έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Στο ίδιο παράδειγμα αρνητική κίνηση θα μπορούσε να χαρακτηριστεί η κάθοδος και μισή αν ο ανελκυστήρας κολήσει στη μέση δύο ορόφων.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι τα δύο διανύσματα , είναι συνευθειακά.

Δύο συνευθειακά διανύσματα , με είναι παράλληλα αν και μόνο αν υπάρχει πραγματικός αριθμός λ τέτοιος, ώστε .

Βαθμωτός πολλαπλασιασμός με τις τιμές 2 και -1.

Οι ιδιότητες αυτού του πολλαπλασιασμού είναι παρόμοιες με του πολλαπλασιασμού αριθμών. Οι ιδιότητες του βαθμωτού πολλαπλασιασμού είναι:

  • Προσεταιριστική:
  • Επιμεριστική:

Άρα


Αν για δύο διανύσματα ισχύει , τότε ο αριθμός λ είναι μοναδικός.

Σημειωση

Το διάνυσμα συμβολίζεται με .

Το μοναδιαίο διάνυσμα του .
Το διάνυσμα , όπου μη μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται μοναδιαίο διάνυσμα κατά την κατεύθυνση του και συμβολίζεται με .


Ταμπέλα προσανατολισμού ή ταμπέλα μοναδιαίων διανυσμάτων όπως θα μπορούσε να πει κάποιος μαθηματικός.

Το μοναδιαίο διάνυσμα είναι το διάνυσμα με μέτρο 1 ομόρροπο του . Το μοναδιαίο διάνυσμα είναι ένας φορέας κατεύθυνσης, γιατί εμπεριέχει το στοιχείο της κατεύθυνσης, ενώ το μέτρο του είναι ουδέτερο (το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού αριθμών). Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την προσθήκη του χαρακτηριστικού της κατεύθυνσης σε οποιοδήποτε μέγεθος σε μαθηματικούς τύπους, όπως οι μονάδες μέτρησεις προσθέτουν τα δικά τους χαρακτηριστικά. Για παράδειγμα στην καθημερινή ζωή λέμε πήγαινε 5 μέτρα αριστερά, όπου εδώ το αριστερά προσδιορίζει κατεύθυνση, αυτή ακριβώς είναι η λειτουργία των μοναδιαίων διανυσμάτων στους μαθηματικούς τύπους.

Επιπλέον ισχύουν και οι εξής ιδιότητες:

Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός και η πρόσθεση είναι οι δύο πράξεις που χαρακτηρίζουν τους διανυσματικούς χώρους. Μεταξύ των άλλων ιδιοτήτων που προκύπτουν είναι και η παρακάτω:

Κάθε διάνυσμα ενός επίπεδου δύο συγκεκριμένων μη μηδενικών μη παράλληλων διανυσμάτων γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός αυτών των δύο διανυσμάτων, δηλαδή αν το διάνυσμα ανήκει στο επίπεδο των μη παράλληλων μη μηδενικών διανυσμάτων και , τότε υπάρχουν μοναδικοί αριθμοί κ, λ τέτοιοι, ώστε . Η ιδιότητα αυτή είναι χαρακτηριστική των διανυσματικών χώρων, τα διανύσματα και ονομάζονται γραμμικώς ανεξάρτητα.

(συνεχίζεται στο μέρος Β)

Ασκήσεις[επεξεργασία]

Ερωτήσεις κατανόησης[επεξεργασία]

  • Με ποιόν αριθμό χρειάζεται να πολλαπλασιαστεί το διάνυσμα για να προκύψει το αντίθετό του;

Αποδεικτικές ασκήσεις[επεξεργασία]

  • Αποδείξτε τις ιδιότητες:
  • Πώς εκφράζεται η διπλή τριγωνική ανισότητα στην αναλυτική γεωμετρία; Πότε ισχύουν τα ίσον;



μετάβαση στο μέρος Β