Πράξεις διανυσμάτων\Μέρος Β

Από Βικιεπιστήμιο
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

μετάβαση στο μέρος Α



Εσωτερικό γινόμενο[επεξεργασία]

Το συνημίτονο ως ποσοστό.
Εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων , είναι ο αριθμός και συμβολίζεται με . Εσωτερικό γινόμενο με το μηδενικό διάνυσμα ορίζεται ίσο με 0.


Το εσωτερικό γινόμενο είναι ένας πραγματικός αριθμός. Ο αριθμός αυτός είναι ανάλογος του μέτρου του κάθε διανύσματος, για παράδειγμα αν διπλασιαστεί το μέτρο του ενός διπλασιάζεται και το μέτρο του γινομένου. Επιπλέον, το εσωτερικό γινόμενο είναι το γινόμενο των μέτρων επί ένα δείκτη σχετικότητας κατευθύνσεων. Ο συντελεστής αυτός χαρακτηρίζει τη σχέση των κατευθύνσεων των δύο διανυσμάτων, ισούται με 1=+100%, αν τα διανύσματα είναι ομόρροπα, -1=-100% αν τα διανύσματα είναι αντίρροπα και με 0=0% αν τα διανύσματα είναι κάθετα, οπότε οι κατευθύνσεις είναι κατά κάποιο τρόπο ξένες μεταξύ τους.

Αυτός ο πολλαπλασιασμός δεν είναι κλειστή πράξη, δηλαδή το αποτέλεσμα δεν είναι του ίδιοιυ είδους με τα στοιχεία που συμμετείχαν αρχικά στην πράξη. Έτσι, δεν υπάρχει έννοια της προσεταιριστικής ιδιότητας. Οι περισσότερες ιδιότητές του προκύπτουν σε σχέση με άλλες πράξεις.

Για κάθε ζεύγος διανυσμάτων υπάχρουν δύο προβολές.

Ιδιότητες:

Άρα και

Καθετότητα[επεξεργασία]

Δύο κάθετα διανύσματα.

Δύο μη μηδενικά διανύσματα , είναι κάθετα αν και μόνο αν .

Ισχύει η ισοδυναμία: τα δύο διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους.

Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα[επεξεργασία]

Προβολή διανύσματος a στο s.
Έστω δύο διανύσματα , τα εφαρμόζονται με κοινή αρχή. Προβολή του διανύσματος στο διάνυσμα είναι το διάνυσμα με αρχή την κοινή αρχή και πέρας την ορθή προβολή του πέρατος του στο φορέα του . Συμβολίζεται συχνά με .


Η προβολή είναι ομόρροπη του , αν συν>0 και αντίρροπη, αν συν<0.

Το μέτρο του είναι , αν και τα δύο διανύσματα είναι μη μηδενικά.

Από τα δύο παραπάνω προκύπτει ότι . Η σχέση αυτή ισχύει και για , γιατί το μέτρο του μηδενικού διανύσματος είναι μηδέν. Επιπλέον, ισχύει ότι , άρα το σύνολο των διανυσμάτων που έχουν κοινή αρχή με κάποιο διάνυσμα και πέρας σε ευθεία κάθετη στο φορέα του έχουν μεταξύ τους ίσα εσωτερικά γινόμενα.

Αν το διάνυσμα είναι μοναδιαίο, τότε το εσωτερικό γινόμενο με οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα παράγει το διάνυσμα προβολή κατά το φορέα του . Για αυτό το λόγο τα μοναδιαία διανύσματα χρησιμοποιούνται γενικά ως φορείς κατεύθυνσης.

Αντίστροφα το εσωτερικό γινόμενο δύο μοναδιαίων διανυσμάτων αποδίδει τη σχέση των κατευθύνσεών τους, γιατί ισούται μόνο με το συνιμήτονο που λειτουργεί στο εσωτερικό γινόμενο ως δείκτης σχετικότητας κατευθύνσεων.

Εξωτερικό γινόμενο[επεξεργασία]

Εξωτερικό γινόμενο με κανόνα δεξιού χεριού.
Εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων , ονομάζεται το διάνυσμα με μέτρο και κατεύθυνση που προσδιορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Συμβολίζεται με . Αν ένα από τα δύο διανύσματα είναι μηδενικό, τότε ως εξωτερικό γινόμενο ορίζουμε το μηδενικό διάνυσμα.


Στον παραπάνω ορισμό το πρώτο διάνυσμα είναι το και δεύτερο το .

Cross product animation.gif

Απεικόνιση του εξωτερικού γινομένου (πράσσινο χρώμα) του μπλε με το κόκκινο διάνυσμα.

Το εξωτερικό γινόμενο εμφανίζεται συνήθως στην περιγραφή φαινομένων που αφορούν κάποια περιστροφή.

Ιδιότητες:

Άρα και

Δύο διανύσματα μπορούν να ορίσουν πλήρως ένα τρίγωνο ή ένα παραλληλόγραμμο.

Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που ορίζεται από τα διανύσματα , ισούται με .

Το εμβαδόν τριγώνου που ορίζεται από τα διανύσματα , ισούται με .

Φυσικό μέγεθος το οποίο εξαρτάται από προσημασμένο εμβαδόν.
Τρόπος αντίληψης του προσημασμένου εμβαδού.

Το προσημασμένο εμβαδόν παραλληλογράμμου, τριγώνου, ή άλλου σχήματος μπορεί να αποκτήσει έννοια αν οριστεί φορά ροής στην περιφέρειά του. Ένα παράδειγμα που θα είχε έννοια είναι το εμβαδόν του ματιού ενός τυφώνα. Οι περιφέρειά του έχει κάποια ροή που το χαρακτηρίζει, την ροή του αέρα. Σε δύο τυφώνες που συγχωνέυονται το μάτι του τελικού τυφώνα θα έχει εμβαδόν που προσδιορίζεται ποιοτικά τουλάχιστον από το άθροισμα των προσημασμένων εμβαδών.

Mικτό γινόμενο[επεξεργασία]

Μικτό γινόμενο των διανυσμάτων , , είναι ο όρος .


Ο όγκος παραλληλεπιπέδου που ορίζεται από τα διανύσματα είναι ίσος με .

Ισχύει η ιδιότητα .


Παραλληλία[επεξεργασία]

Δύο μη μηδενικά διανύσματα είναι παράλληλα αν και μόνο αν .

Ισχύει η σχέση τα δύο διανύσματα είναι παράλληλα μεταξύ τους.

Διαίρεση διανυσμάτων[επεξεργασία]

Δεν υπάρχει ευρέως αποδεκτή διαίρεση διανυσμάτων, εκτός ίσως από τον όρο που συναντήσαμε στο βαθμωτό πολλαπλασιασμό, γιατί δεν υπάρχει ουδέτερη κατεύθυνση. Η επίλυση εξισώσεων που στηρίζεται αλγεβρικά σε διαίρεση γίνεται μόνο και με τα δύο είδη πολλαπλασιασμών διανυσμάτων.

Αν μη μηδενικά διανύσματα τότε ισχύουν οι εξής ισοδυναμίες:

και

και

Δύναμη διανύσματος[επεξεργασία]

Διάνυσμα στο τετράγωνο είναι το . Συμβολίζεται με


Ισχύει ότι .

Ασκήσεις[επεξεργασία]

(Προσοχή στις ερωτήσεις-παγίδες!)

Ερωτήσεις κατανόησης[επεξεργασία]

  • Ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στο διπλό εσωτερικό γινόμενο ; Η αντιμεταθετική;
  • Μπορείτε να εφαρμόσετε τον κανόνα του δεξιού χεριού σε αντίθετα και ομόρροπα διανύσματα;
  • Γιατί τρία μη συνευθειακά διανύσματα ορίζουν παραλληλεπίπεδο; Ποιά η συνθήκη ισοδυναμίας, ώστε αυτό το παραλληλεπίπεδο είναι ορθογώνιο;
  • Τί ιδιότητες έχει το διάνυσμα ;
  • Ποιό διάνυσμα είναι το ; Γιατί δεν ορίστηκε έτσι το τετράγωνο διανύσματος;

Αποδεικτικές ασκήσεις[επεξεργασία]

  • Αποδείξτε την ιδιότητα .
  • Αποδείξτε την ιδιότητα
  • Βρείτε τη συνθήκη ομορροπίας και ετεροποίας σε αλγεβρική διανυσματική μορφή. Ύστερα συνδέστε την με τη συνθήκη παραλληλίας.
  • Αποδείξτε ότι
  • Αποδείξτε ότι
    • Σε ποιά ταυτότητα στηριχθήκατε για την παραπάνω απόδειξη;
  • Ποιές αλγεβρικές ταυτότητες ισχύουν αντίστοιχα στην αναλυτική γεωμετρία; Αυτές που δε λειτουργούν πώς μπορούν να διορθωθούν ώστε να λειτουργούν;

Ερευνητικά θέματα[επεξεργασία]

  • Μπορείται να γενικεύσετε τον ορισμό του μεικτού γινομένου ως προς τη λειτουργικότητά του στις ν διαστάσεις;